Anwendungen der Topologie in der Informatik

Ich möchte eine Umfrage zu den Anwendungen der Topologie in der Informatik schreiben. Ich habe vor, die Geschichte der topologischen Ideen in der Informatik zu behandeln und auch einige aktuelle Entwicklungen aufzuzeigen. Es wäre äußerst hilfreich, wenn jemand Beiträge zu den folgenden Fragen abgeben könnte.

1. Gibt es Papiere oder Notizen, die die Chronologie der Verwendung von Topologie in der Informatik beschreiben?

2. Was ist die wichtigste Anwendung von Ergebnissen in der Topologie auf die Informatik?

3. Was sind die interessantesten Bereiche der aktuellen Arbeit, die mithilfe der Topologie Einblicke in die Berechnung erhalten?

Vielen Dank!

Ich persönlich denke, die interessanteste Anwendung der Topologie war die Arbeit von Herlihy und Shavit. Sie verwendeten eine algebraische Topologie, um asynchrone verteilte Berechnungen zu charakterisieren, lieferten neue Beweise für wichtige bekannte Ergebnisse und schlugen eine Reihe langjähriger offener Probleme aus. Für diese Arbeit gewannen sie 2004 den Godel-Preis.

"Die topologische Struktur der asynchronen Berechnung" von Maurice Herlihy und Nir Shavit, Journal of the ACM, Vol. 46 (1999), 858-923,

Die Topologie ist eine so ausgereifte Disziplin mit verschiedenen Teilfeldern, einschließlich geometrischer, algebraischer, metrischer, Punktmengen- und (selbstverachtender) sinnloser Topologie. Die Informatik ist auch ziemlich breit und hat viele mathematische Unterbereiche, so dass ich viele Anwendungen von topologischen Ideen in CS erwarten würde. Marshall Stone sagte "immer topologisieren", und Informatiker mit dem erforderlichen Hintergrund haben oft. Genug bla. Einige Beispiele.

Diese Beispiele beziehen sich nicht nur auf schwierige CS-Probleme, die durch die Topologie gelöst werden. Manchmal lässt sich ein topologischer Begriff sehr gut in eine CS-Umgebung übertragen oder bildet die Grundlage für einen Unterbereich von CS.

1. Der Kompaktheitssatz der Aussagenlogik ist eine Konsequenz des Satzes von Tychonoff. Die Kompaktheit für die Logik erster Ordnung wird normalerweise anders bewiesen. Kompaktheit ist ein wichtiges Werkzeug in der klassischen Modelltheorie.

2. Stones Repräsentationssatz für Boolesche Algebren bezieht Modelle der Aussagenlogik, Boolesche Algebren und bestimmte topologische Räume ein. Steinartige Dualitätsergebnisse wurden für Strukturen abgeleitet, die in der algebraischen Logik und der Programmiersprachensemantik verwendet werden.

3. Nick Pippenger wandte Stones Theorem auf die Boolesche Algebra regulärer Sprachen an und verwendete die Topologie, um mehrere Tatsachen über reguläre Sprachen zu beweisen. Siehe den Kommentar von Jean-Eric Pin für neuere Arbeiten zur Topologie in der Sprachtheorie.

4. In formalen Methoden gibt es die Begriffe Sicherheit und Lebendigkeitseigenschaft. Jede Eigenschaft mit linearer Zeit kann als Schnittmenge einer Sicherheits- und einer Lebendigkeitseigenschaft ausgedrückt werden. Der Beweis verwendet eine elementare Topologie.

5. Martín Escardó hat Algorithmen und Programme zur Suche nach unendlichen Mengen entwickelt. Ich glaube, Kompaktheit ist ein wesentlicher Bestandteil dieser Arbeit.

6. Die Arbeit polnischer Topologen (wie Kuratowski) gab uns Schließungsoperatoren. Abschlussoperatoren auf Gittern sind ein entscheidender Bestandteil der Theorie der abstrakten Interpretation, die der statischen Programmanalyse zugrunde liegt.

7. Verschlussoperatoren und andere topologische Ideen bilden die Grundlage der mathematischen Morphologie.

8. Der Begriff der Innenoperatoren auch aus der polnischen Schule ist wichtig für die Axiomatisierung der Modallogik.

9. Viel Informatik basiert auf graphbasierten Strukturen. Einige Anwendungen erfordern ein umfassenderes Verständnis der Zusammenhänge und Abläufe, als dies durch Grafiken und Topologien möglich ist. Dies ist der nächste natürliche Schritt. Dies ist meine Lektüre von van Glabbeeks höherdimensionalen Automaten in der Parallelitätstheorie und von Eric Goubaults Anwendung der geometrischen Topologie auf die Semantik von parallelen Programmen.

10. Möglicherweise ist die Anwendung, die die meiste Presse erhält, die Anwendung von Topologie (anfänglich algebraisch, obwohl es auch kombinatorischere Darstellungen gibt), um bestimmte Fehlertoleranzszenarien im verteilten Rechnen zu charakterisieren. Neben Herlihy und Shavit haben Borowsky und Gafni sowie Saks und Zaharouglou den ersten derartigen Durchbruch bewiesen. Das Framework für asynchrone Berechnungen lieferte mehr solche Ergebnisse.

11. Brouwers Fixpunktsatz hat zu mehreren Problemen geführt, die wir untersuchen. Zuletzt im Studium der algorithmischen Spieltheorie die Komplexitätsklasse PPAD und die Komplexitätsklasse FixP für Fixpunktprobleme.

12. Das Borsuk-Ulam-Theorem hat verschiedene Anwendungen für Graphen und metrische Einbettungen. Diese werden in Jiří Matoušeks Buch behandelt.

Dies sind dürftige Dinge, was da draußen ist. Viel Glück!

$D\cong [D\to D]$$\lambda$-Infinitesimalrechnung. Die Semantik basiert im Wesentlichen auf dem Begriff der Näherung, der durch die Reihenfolge gegeben ist, und der Lösung der Gleichungen mit dem geringsten Fixpunkt, und es wird im Allgemeinen garantiert, dass Lösungen existieren.

Aus der Denotationssemantik resultieren Zusammenhänge mit abstrakter Interpretation sowie Programmanalyse und -verifikation.

Aktuelle Forschung umfasst die Bereitstellung von Denotationssemantik für Parallelität und für Quantensprachen.

Abramsky und Jung geben einen guten Überblick über die Kernideen: Domänentheorie .

Grenzen der Anzahl verbundener Komponenten und allgemeiner Betti-Zahlen von semi-algebraischen Varietäten und Hyperebenen-Anordnungen (und deren Komplementen) wurden für mehrere untere Schranken für algebraische Berechnungs- und Entscheidungsbäume verwendet. Nur einige wichtige Referenzen finden Sie unter:

Michael Ben-Or, Untergrenzen für algebraische Rechenbäume, STOC 1983, S. 80-86.

Andrew Chi-Chih Yao, Komplexität des Entscheidungsbaums und Betti-Zahlen, J. Comput. System Sci. 55 (1997), no. 1, Teil 1, 36-43 (STOC 1994).

Anders Bjorner und Laszlo Lovasz, Lineare Entscheidungsbäume, Subraum-Anordnungen und Mobius-Funktionen, J. Amer. Mathematik. Soc. 7 (1994), no. 3, 677 & ndash; 706.

In einer anderen, aber etwas verwandten Art verwendete Smale die Topologie auf eine ziemlich interessante Weise (insbesondere die Kohomologie der Zopfgruppe), um die Komplexität der Wurzelfindung im Blum-Shub-Smale-Modell zu verringern:

Smale, S. Über die Topologie von Algorithmen, IJ Complexity, 3 (2): 81-89, 1987.

$2^{\omega}$

Dies hängt mit Daves Antwort und Domänentheorie zusammen. Das Hauptargument hier ist, dass die Berechenbarkeit von Natur aus auf lokalen Operationen und endlichen Beobachtungen basiert . Sie können sich die Berechenbarkeit als einen verfeinerten Begriff der Topologie vorstellen. Das deutlichste Beispiel ist das:

Alle (Oracle Turing) berechenbaren Funktionen sind fortlaufend. Andererseits ist jede stetige Funktion mit einem geeigneten Orakel berechenbar.

Mehr dazu finden Sie in Klaus Weihrauchs Buch "Computable Analysis". Vielleicht möchten Sie sich auch Steven Vickers schönes Buch "Topologie über Logik" ansehen.

Zwei weitere Artikel, die für Ihre Umfrage relevant sein könnten ...

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Ein topologischer Ansatz zur Erkennung, ICALP 2010, Teil II, Lecture Notes in Computer Science 6199, Springer Verlag, (2010), 151-162.

M. Gehrke, S. Grigorieff, J.-E. Pin, Dualitäts- und Gleichungstheorie regulärer Sprachen, Best Paper Award der ICALP 2008, Track B, ICALP 2008, Teil II, Vorlesungsskript in Computer Science 5126, Springer Verlag, (2008), 246-257.

Vergessen Sie nicht die Kneser-Vermutung und den Kahn / Saks / Sturtevant-Beweis für die Aandera-Rosenberg-Karp-Vermutung.

Ich habe die erwähnte Arbeit von Robert Ghrist , der früher in Illinois, jetzt aber in U Penn war und Topologie auf Dinge wie Sensornetzwerke und Robotik anwendete, noch nicht gesehen . Hier ist ein schönes Interview.

Ebenfalls sehr verwandt mit der Arbeit von Gunnar Carlsson et al. Zur Anwendung der Topologie auf die Datenanalyse .

Vielleicht nicht das STOC / FOCS TCS, aber definitiv die Informatik.

Theorien zum Verständnis der Parallelität und zum Modellieren von gleichzeitigen Berechnungen lassen sich am besten topologisch verstehen. Neben der berühmten Arbeit von Herlihy und Shavit über die in einer früheren Antwort erwähnte topologische Struktur der asynchronen Berechenbarkeit hat Eric Goubault auch die Modellierung von Parallelität mit Geometrie und Pratts Arbeit über Anwendungen von Chu-Räumen für Parallelität in der Stanford Concurrency-Gruppe untersucht obwohl ich mit ihrer arbeit nicht vertraut bin.

Alle von Kitaev begonnenen Arbeiten zum topologischen Ansatz eines fehlertoleranten Quantencomputers. Siehe Kitaevs Originalarbeit oder zum Beispiel John Preskills Vorlesungsnotizen .

Bisher hat noch niemand die gerichtete algebraische Topologie erwähnt , die tatsächlich entwickelt wurde, um eine geeignete algebraische topologische Toolbox für das Studium der Nebenläufigkeit bereitzustellen.

Es gibt auch einige niedrigdimensionale topologische Ansätze zu Themen in der Berechnungstheorie, die alle ziemlich neu sind:

• Verschiedene Ansätze zur fehlertoleranten Quantenberechnung basierend auf der Theorie der Geflechte. Siehe zB HIER und HIER . Auch zu Netzwerken adiabatischer Quantenberechnungen gibt es HIER .
• Diagrammatische topologiebasierte Formalismen für Lambda-Kalkül (z. B. HERE , Seiten 46-48 und HERE ) und für Milner-Pi-Kalkül ( HERE ).
• Verwenden der Verkettung farbiger Verwicklungen zur Modellierung von Rekursions- und Markov-Ketten. Siehe zB HIER und HIER . Tatsächlich ist es bewiesen (unveröffentlicht), dass jede Turing-Maschinenberechnung und jedes wiederkehrende neuronale Netzwerk erster Ordnung auf diese Weise modelliert werden kann.
• Es gibt einen theoretischen Formalismus höherer Kategorie für die Quantenberechnung, bei dem topologische Diagramme Berechnungen darstellen und topologisch äquivalente Diagramme verschiedene Verfahren mit identischem Recheninhalt darstellen. Siehe HIER .

Einige Anwendungen für metrische Einbettungen.

Überprüfen Sie dieses Buch von Matousek: http://kam.mff.cuni.cz/~matousek/akt.html

Schauen Sie sich auch diese Papiere an:

• Bi-Lipschitz-Einbettungen in niedrigdimensionale euklidische Räume, J. Matousek (1990) (Er verwendet den Satz von van Kampen, um eine Untergrenze zu beweisen)
• Unangemessenheit für metrische Einbettungen in R ^ d, J. Matousek und A. Sidiropoulos

lies dieses Buch:

Siehe die archivierte Webseite

Überprüfen Sie dieses Buch, Computational Complexity: A Quantitative Perspective, Es untersucht die Größe einiger Komplexitätsklassen mit ressourcenbeschränkten topologischen Werkzeugen.

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