Prägnante Schaltungsdarstellung von Diagrammen

Die Komplexitätsklasse PPAD (zB Berechnung verschiedener Nash-Gleichgewichte) kann definiert werden als die Menge der Gesamtsuchprobleme, die polytime auf END OF THE LINE reduziert :

ENDE DER LINIE : Wenn die Schaltungen S und P mit n Eingangsbits und n Ausgangsbits so gegeben sind, dass P (0 ⁿ ) = 0 ⁿ ! = S (0 ⁿ ) , finde einen Eingang x in {0,1} ^n, so dass P (S (x)) ! = X oder S (P (x)) ! = X ! = 0 ⁿ .

Schaltkreise oder Algorithmen wie S und P definieren implizit einen exponentiell großen Graphen, der nur abfrageweise angezeigt wird (um das Problem in PSPACE beizubehalten !), Z. B. Papadimitrous Artikel .

Ich verstehe jedoch nicht, wie man eine Schaltung entwerfen würde, die beliebige Diagramme ermöglicht (wenn das Diagramm eine systematische Struktur aufweist, scheint es viel einfacher zu sein, die Schaltung zu finden). Wie würde man zum Beispiel eine polynomgroße Schaltung entwerfen, die eine exponentiell lange gerichtete Linie darstellt, mit einem All-0- Label für den Quellscheitelpunkt und zufällig zugewiesenen binären Labels für alle anderen Scheitelpunkte? Dies scheint in den PPAD-bezogenen Papieren implizit zu sein .

Das nächste Ergebnis einer Online-Suche ist das von Galperin / Widgerson , aber die dort beschriebene Schaltung verwendet zwei Scheitelpunktbezeichnungen und gibt eine boolesche Antwort auf "Sind diese Scheitelpunkte benachbart?"

Wie würden Sie also eine polynomgroße Schaltung eines exponentiell großen Graphen entwerfen , der eine n- Bit-Eingabe annimmt und die n- Bit-Bezeichnung seines Vorgängers bzw. Nachfolgers ausgibt ? Oder kennt jemand eine Ressource, die dies gut erklärt?

Ihre Frage scheint sich zu stellen: Wie stellt man willkürliche Graphen (oder sogar willkürliche Weggraphen) als einen Kreis polynomialer Größe dar? Die Antwort ist, dass du es nicht tust. Die Anzahl der verschiedenen Pfadgraphen mit 2 ⁿ Eckpunkten ist (2 ⁿ ) !, weit mehr als die Anzahl der verschiedenen Schaltungen mit n ^c Gattern (Exponential in n ^c log n). So können fast alle Graphen mit so vielen Eckpunkten nicht durch eine prägnante Schaltung dargestellt werden.

Wie Sie andeuten, können auf diese Weise in gewissem Sinne nur Graphen dargestellt werden, die einen hohen Grad an Struktur aufweisen. Das macht Komplexitätsklassen wie PPAD interessant: Trotz der Struktur, über die die Eingabegraphen für das EOL-Problem verfügen müssen, scheinen wir nicht zu wissen, wie wir die Struktur zur effizienten Lösung des Problems nutzen können.

Wenn ich Ihre Frage falsch verstehe und Sie sich wirklich fragen: Wie stellt man eine Schaltung her, die sogar die Eingabeanforderungen für EOL erfüllt, und zwar für einen sehr stark strukturierten Graphen? binär) zu x-1 und x + 1, wobei bei Null und bei 2 ^ n-1 endet. Oder wenn Sie etwas weniger Triviales wollen, für das EOL schwieriger zu lösen scheint: Lassen Sie E und D die Verschlüsselungs- und Entschlüsselungsfunktionen für einen festen Schlüssel in Ihrem bevorzugten Kryptosystem sein, lassen Sie die Nachbarn von x in der Grafik E (x) und D sein (x) und die Enden der Linie seien 0 und D (0).

Da die meisten Graphen auf n Eckpunkten Kolmogorov-zufällig sind, können sie nicht durch eine Schaltung (oder ein anderes Programm) beschrieben werden, die wesentlich kleiner als der Graph selbst ist. (Wenn Sie nicht wissen, was Kolmogorov-Zufall bedeutet, können Sie die Schlussfolgerung des vorherigen Satzes als seine Definition nehmen. Dann verlassen Sie sich auf die Tatsache, dass fast alle Zeichenfolgen Kolmogorov-Zufall sind.)

Obwohl ich mit den von Ihnen zitierten Werken nicht genau vertraut bin, gehe ich davon aus, dass es sich immer um Diagramme handelt, die durch Schaltkreise beschrieben werden. Mit anderen Worten, indem sie sich auf die Schaltkreise konzentrieren, beschränken sie ihre Aufmerksamkeit im Wesentlichen auf die Klasse von Graphen, die kurze Schaltkreise haben (deren Größe in der Größe des Graphen logarithmisch ist).