Wann haben Kohärenzräume Pullbacks und Pushouts?

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

Eine Kohärenzbeziehung auf einer Menge X ist eine reflexive und symmetrische Beziehung. Ein Kohärenzraum ist ein Paar (X, \ symp_X) , und ein Morphismus f: X \ zu Y zwischen Kohärenzräumen ist eine Beziehung f \ subseteq X \ mal Y, so dass für alle (x, y) \ in f und (x ', y') \ in f ,$\symp_X$$X$$(X, \symp_X)$$f : X \to Y$$f \subseteq X \times Y$$(x,y) \in f$$(x',y') \in f$

1. wenn $x \symp_X x'$ dann $y \symp_Y y'$ und
2. wenn $x \symp_X x'$ und $y = y'$ dann ist $x = x'$ .

Die Kategorie der Kohärenzräume ist sowohl kartesisch als auch monoidal geschlossen. Ich würde gerne wissen, wann Pullbacks oder Pushouts für diese Kategorie existieren und wann ein monoidales Analogon von Pullbacks oder Pushouts existiert (und wie man es definiert, falls dieser Begriff Sinn macht).

Ich sehe jetzt, wie man Equalizer für Kohärenzräume definiert, was bedeutet, dass es immer Pullbacks gibt (da Produkte dies tun). Ich weiß eigentlich nicht, wie ich das machen soll ...

Denken Sie daran, dass die Zusammensetzung die übliche relationale Zusammensetzung ist. Wenn also und , dann:$f : A \to B$$g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

(In dieser Definition impliziert das Existential tatsächlich eine einzigartige Existenz. Nehmen wir an, wir haben so dass und . Da wir wissen, dass bedeutet dies, dass . Dann bedeutet dies, dass wir und und , also folglich .)$b' \in B$$(a,b') \in f$$(b', c) \in g$$a \Bumpeq_A a$$b \Bumpeq_B b'$$b \Bumpeq_B b'$$(b,c) \in g$$(b',c) \in g$$b = b'$

Wir konstruieren jetzt Equalizer. Angenommen , wir haben Kohärenz Räume und , und Morphismen . Definieren Sie nun den Equalizer wie folgt.$A$$B$$f, g : A \to B$$(E, e : E \to A)$

1. Nehmen Sie für das Web Dies wählt die Teilmenge der Token von über die entweder und übereinstimmen (bis zur Kohärenz - ich hatte dies in meiner ersten Version falsch ) oder sind beide undefiniert.

   $$E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$$ $A$$f$$g$

2. Definieren Sie die Kohärenzbeziehung für . Dies ist nur die Beschränkung der Kohärenz Bezug auf auf die Teilmenge . Dies ist reflexiv und symmetrisch, da ist.$\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$$A$$E$$\Bumpeq_A$

3. Die Equalizer-Karte ist nur die Diagonale .$e$$e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

Da ich meine erste Version des Beweises durcheinander gebracht habe, werde ich die Universalitätseigenschaft explizit angeben. Angenommen, wir haben ein anderes Objekt und einen anderen Morphismus so dass .$X$$m : X \to A$$m;f = m;g$

Definieren Sie nun als . Natürlich , aber um die Gleichheit zu zeigen, müssen wir das Gegenteil von .$h : X \to E$$\{(x,a) \;|\; a \in E\}$$h;i \subseteq m$$m \subseteq h;i$

Nehmen wir also . Wir müssen jetzt zeigen, dass und .$(x,a) \in m$$\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$$\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

Nehmen wir zunächst und . Wir wissen also, dass und , also . Daher , und so gibt es ein so dass und . Seit kennen wir , und so gibt es ein so dass .$b \in B$$(a,b) \in f$$(x,a) \in m$$(a,b) \in f$$(x,b) \in m;f$$(x,b) \in m;g$$a' \in A$$(x,a') \in m$$(a',b) \in g$$x \Bumpeq x$$a \Bumpeq a'$$a' \Bumpeq a$$(a',b) \in g$

Nehmen Sie symmetrisch und . Wir wissen also, dass und , also . Daher , und so gibt es ein so dass und . Seit kennen wir , und so gibt es ein so dass .$b \in B$$(a,b) \in g$$(x,a) \in m$$(a,b) \in g$$(x,b) \in m;g$$(x,b) \in m;f$$a' \in A$$(x,a') \in m$$(a',b) \in f$$x \Bumpeq x$$a \Bumpeq a'$$a' \Bumpeq a$$(a',b) \in f$