Kontext.
Ich schreibe zu Themen wie dem Gottesman-Knill-Theorem unter Verwendung von Pauli-Stabilisatorgruppen, aber im Fall von d- dimensionalen Qudits - wobei d mehr als einen Primfaktor haben kann. (Ich betone dies, weil die überwiegende Mehrheit der Literatur über Stabilisatorformalismus in "höheren Dimensionen" die Fälle von d prime oder d a prime power beinhaltet und endliche Felder verwendet; ich erwäge stattdessen die zyklischen Gruppen ℤ d .)
Für jede Dimension charakterisiere ich eine (Pauli) -Stabilisatorgruppe als eine abelsche Untergruppe der Pauli-Gruppe, in der jeder Operator einen +1-Eigenraum hat .
Ich schreibe über ein Ergebnis, das für d = 2 bekannt ist (und leicht auf d prime verallgemeinert werden kann ):
Eine Stabilisatorgruppe stabilisiert einen eindeutigen reinen Zustand genau dann, wenn er maximal ist
Wobei mit Maximalität gemeint ist, dass jede Erweiterung entweder außerhalb der Pauli-Gruppe liegt oder nicht abelisch ist oder Operatoren ohne +1 Eigenwerte enthält.
Beweise für solche Ergebnisse für d prime beruhen normalerweise auf der Tatsache, dass ℤ d 2n ein Vektorraum ist ( dh, dass ℤ d ein Feld ist): Dies gilt nicht für d composite. Es gibt zwei Möglichkeiten: Verallgemeinern Sie die vorhandenen Beweise auf eine Weise, die robust gegenüber der Existenz von Nullteilern ist ( z. B. unter Verwendung von Werkzeugen wie der Smith-Normalform ), oder vermeiden Sie die Zahlentheorie insgesamt und verwenden Sie Ideen wie Orthogonalitätsrelationen von Pauli-Operatoren.
Problem.
Ich habe tatsächlich bereits einen prägnanten Beweis für dieses Ergebnis, indem ich im Wesentlichen nur Orthogonalitätsrelationen von Pauli-Operatoren verwende. Aber ich vermute, dass ich so etwas schon einmal gesehen habe, und ich würde gerne auf den Stand der Technik zurückgreifen, wenn ich kann (ganz zu schweigen davon, ob es bessere Techniken gibt als die, die ich verwendet habe, die sich zwar weniger als perfekt anfühlten ).
Gewiss berücksichtigen Knills Arbeiten [quant-ph / 9608048] und [quant-ph / 9608049] ähnliche Themen und wenden ähnliche Techniken an; aber ich konnte das gesuchte Ergebnis dort oder in Gottesmans [quant-ph / 9802007] nicht finden . Ich hoffe, dass mich jemand darauf hinweisen kann, wo ein solcher Beweis zuvor veröffentlicht worden sein könnte.
Beachten Sie - das Ergebnis, das ich in Betracht ziehe, ist nicht eines, das die Kardinalität der Gruppe mit der Dimension des stabilisierten Raums in Beziehung setzt (was nett ist, aber trivial, sowohl zu beweisen als auch Verweise darauf zu finden); Es geht mir speziell darum zu zeigen, dass jede Stabilisatorgruppe, die nicht erweitert werden kann , einen eindeutigen Zustand stabilisiert und umgekehrt. Ein Hinweis auf einen Beweis, dass jede maximale Stabilisatorgruppe dieselbe Kardinalität hat, wäre in Ordnung; es darf sich aber auch nicht darauf verlassen, dass d prim oder ℤ d 2n ein Vektorraum ist.
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