In meinem Beruf tritt folgendes Problem auf:
Gibt es einen bekannten Algorithmus, der die chromatische Zahl eines Graphen ohne einen unabhängigen Satz der Ordnung 65 approximiert? (Alpha (G) <= 64 ist also bekannt, und | V | / 64 ist eine triviale untere, | V | eine triviale obere Schranke. Gibt es unter dieser speziellen Bedingung jedoch besser belegte Näherungswerte?)
Was ist, wenn wir uns auf die gebrochene chromatische Zahl entspannen? Und zu "guten" Laufzeiten im Durchschnitt?
Antworten:
Berechnen Sie eine maximale Übereinstimmung im Komplement des Eingabediagramms. Jeder nicht übereinstimmende Knoten muss in jeder Farbe einer anderen Farbklasse zugeordnet sein. Also: Wenn Sie mindestens cn übereinstimmende Kanten erhalten, erhalten Sie durch das Anpassen selbst eine Färbung mit einer Obergrenze von (1-c) n und einem Näherungsverhältnis von 64 (1-c). Wenn Sie nicht mindestens cn Kanten erhalten, erhalten Sie eine Untergrenze von (1 - 2c) n Farben und ein Näherungsverhältnis von 1 / (1-2c). Die Lösung der Gleichung 64 (1-c) = 1 / (1-2c) führt zu einem Näherungsverhältnis, das etwas größer als 32 ist. Siehe Sasho Nikolovs Kommentar für den genauen Wert.
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http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms
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