Verbotene Minderjährige für Diagramme mit begrenzter Baumbreite

Diese Frage ähnelt einer meiner vorherigen Fragen. Es ist bekannt, dass für Graphen mit einer Baumbreite von höchstens t ein verbotenes Moll ist .$K_{t+2}$$t$

Gibt es eine gut konstruierte, parametrisierte, unendliche Familie von Diagrammen (außer vollständigen Diagrammen und Gitterdiagrammen), bei denen es sich bei Diagrammen aller Baumbreiten um minimal verbotene Minderjährige handelt? Mit anderen Worten, gibt es einen expliziten Graphen auf r Eckpunkten (der kein vollständiger Graph ist), so dass G r für Graphen mit einer Baumbreite von höchstens r eine verbotene Mollzahl ist , wobei r eine Funktion von t ist ?$G_r$$r$$G_r$$r$$r$$t$

Die vollständigen Mengen der verbotenen Minderjährigen sind für Diagramme mit einer Baumbreite von höchstens drei bekannt. Weitere Informationen finden Sie in diesem Wikipedia-Artikel .

Ist der vollständige Satz verbotener Minderjähriger von Graphen mit einer Baumbreite von höchstens vier bekannt?

Wenn G aus einem kleineren Graphen H gebildet wird, der keine Clique ist, indem zwei Eckpunkte x und y addiert werden, so dass x und y nicht nebeneinander, sondern neben allen anderen Eckpunkten von G liegen, gilt . Denn in jeder Baumzerlegung von G haben entweder x und y nicht zusammenhängende Teilbäume oder sie haben überlappende Teilbäume. Wenn sie nicht zusammenhängende Teilbäume haben, müssen alle anderen Teilbäume den kürzesten Pfad zwischen den Bäumen für x und y enthalten , woraus folgt, dass die Baumbreite n - $tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$$n-2$; Die Annahme, dass keine Clique ist, kann dann verwendet werden, um zu zeigen, dass n - 2 ≥ t w ( H ) + 2 ist . Wenn x und y überlappende Teilbäume haben, muss jeder andere Scheitelpunkt einen Teilbaum haben, der den Schnittpunkt der beiden Teilbäume von x und y berührt , und wir können die Baumzerlegung auf diesen Schnittpunkt beschränken, um eine Baumzerlegung zu erhalten, in der x und y an jedem Baumknoten teilnehmen.$H$$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$$x$$y$

Dies impliziert, dass der hyperoktaedrische Graph mit 2 k Knoten ein minimal verbotener Nebeneffekt für die Breite 2 k - 3 ist . Denn der oktaedrische Graph K 2 , 2 , 2 ist ein minimal verbotener Nebeneffekt für die Breite drei, woraus das obige Argument hervorgeht, dass der hyperoktaedrische Graph die Breite 2 k - $K_{2,2,2,\dots}$$2k$$2k-3$$K_{2,2,2}$$2k-2$. Und wenn im hyperoktaedrischen Graphen eine Randkontraktion oder Randlöschung durchgeführt wird, können wir aufgrund der Symmetrien des Graphen annehmen, dass die Operation an einer der zwölf Kanten im Basisoktaeder stattfindet, wodurch dessen Breite und die Breite aller Hyperoktaeder verursacht werden daraus gebaut, um abzunehmen.

(Die andere Klasse von Graphen, die Sie zusammen mit den vollständigen Graphen in Ihre Frage aufnehmen sollten, sind die Gittergraphen. Ein Gitter hat die Breite r . Es ist von den vollständigen Nebengraphen getrennt, da es eben ist und daher keine vollständige Nebengraphen mit mehr hat als vier Eckpunkte. Dies ist jedoch kein minimaler, verbotener Nebeneffekt, da einige kleine Änderungen (z. B. das Zusammenziehen der Eckpunkte) die Baumbreite nicht ändern.)$r\times r$$r$

$\leq 4$