Optimale Zufallsgebote

Diese Frage stammt von dieser Website, die ich oft durchforste.

Zwei Spieler spielen eine heiße neue Spielshow mit dem Titel "Higher Number Wins". Die beiden gehen in separate Kabinen und drücken jeweils eine Taste. Auf einem Bildschirm wird eine Zufallszahl zwischen Null und Eins angezeigt. (Zu diesem Zeitpunkt kennt keiner die Nummer des anderen, aber er weiß, dass die Nummern aus einer einheitlichen Standardverteilung ausgewählt wurden.) Sie können diese erste Nummer behalten oder die Taste erneut drücken, um die erste Nummer zu verwerfen und eine zweite zu erhalten Zufallszahl, die sie behalten müssen. Dann kommen sie aus ihren Kabinen und sehen die endgültige Nummer für jeden Spieler an der Wand. Der verschwenderische Hauptpreis - ein Fall voller Goldbarren - wird an den Spieler vergeben, der die höhere Zahl behalten hat. Welche Zahl ist der optimale Grenzwert für Spieler, um ihre erste Zahl zu verwerfen und eine andere zu wählen? Anders ausgedrückt: In welchem ​​Bereich sollten sie die erste Zahl behalten?

Dies ist entweder ein sehr seltsames Auktionsproblem bei symmetrischen Spielern (ich gehe auch davon aus, dass die Spieler risikoneutral sind) oder ein sehr seltsames Lotterie- / Spieltheorie-Spiel.

Wie würden Sie diese Frage mathematisch angehen und welche Antwort erhalten Sie darauf? Es gibt keinen Preis für mich , die richtige Antwort auf das Rätsel der Website zu bekommen. Ich bin nur neugierig. Meine Intuition sagt mir, dass der optimale Cutoff 0,5 beträgt, da Sie eine 50: 50-Chance haben, höher oder niedriger als die Zahl Ihres Gegners zu sein, unabhängig davon, ob er / sie seine Zufallszahl wiederholt oder nicht, aber ich bin nicht sicher.

Zuerst werde ich nur zeigen, dass die 0,5 (oder $\frac{1}{2}$ ) Der Grenzwert funktioniert nicht als symmetrisches Gleichgewicht. Dann können Sie selbst entscheiden, ob Sie über das Problem nachdenken oder die vollständige Antwort lesen möchten.

Bezeichnen wir die Grenzpunkte mit $c_x,c_y$ . Angenommen, beide Spieler verwenden die Strategie $c = \frac{1}{2}$ . Bezeichnen wir die Anzahl der Spieler$x$und$y$mit$x_1$und$y_1$und ihre potenzielle zweite Zahl mit$x_2$und$y_2$. Angenommen,$x_1 = \frac{2}{3}$ . Wenn Sie dies beibehalten,beträgtdie Wahrscheinlichkeit, dass Spieler$x$gewinnt,

$$P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.$$ Dies bedeutet auch, dass$\frac{2}{3}$ istder Median dieser Verteilung.

Nehmen wir nun an, $x_1 = \frac{1}{2}$ . Wenn Sie dies beibehalten,istdie Wahrscheinlichkeit, dass Spieler$x$gewinnt,

$$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ Aber wenn erx1=1verwerfen würde$x_1 = \frac{1}{2}$ er hat die Wahrscheinlichkeit $$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8}$$ zu gewinnen. $\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$ also$x_1 = \frac{1}{2}$ (und seine Umgebung) ist nicht optimal, daher kann es keine Gleichgewichtsbewegung sein.

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SPOILER ALARM

Wenn Spieler $y$ einen Cut-Off $c_y$ und Spieler $x$$x_1 = c_y$ zieht und es behält, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $x$ gewinnt,

$$P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2.$$ Wenn Spieler $x$ wo zu verwerfen $x_1$ die Wahrscheinlichkeit , dass er gewinnt , ist $$\begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$ Angenommen, es gibt ein symmetrisches Gleichgewicht, dh$c_x = c_y = c$.
(Ich glaube nicht, dass andere Gleichgewichte existieren, aber ich habe es nicht bewiesen.)
Da die Gewinnwahrscheinlichkeit im Wert von$x_1$stetig ist, ist der Grenzwert$c$so, dass wenn$x_1 = c$ist, die Gewinnwahrscheinlichkeit ist gleich, wenn$x_1$beibehalten und verworfen wird. Dies bedeutet, dass $$\begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}$$

Angenommen, Person 1 wählt einen Grenzwert von und Person 2 wählt einen Grenzwert von c 2 , wobei c 2 ≥ c 1 ist . Sei p 1 ( x ) die Wahrscheinlichkeit, dass die endgültige Zahl von Person 1 nicht größer als x ist . p $c_1$$c_2$$c_2\ge c_1$$p_1(x)$$x$ gleich c 1 x, wenn x < c 1 und c 1 x + x - c 1 ansonsten. Definiere p 2$p_1(x)$$c_1x$$x<c_1$$c_1x+x-c_1$ ähnlich. Zeichnen Sie nun p 2 ( x ) gegen p 1 ( x ) auf einem parametrischen Diagramm für 0 ≤ x ≤ 1 . Das Ergebnis sind drei Liniensegmente:$p_2(x)$$p_2(x)$$p_1(x)$$0\le x\le1$

• Eins von bis ( c 2 1 , c 1 c 2 ) , entsprechend 0 ≤ x ≤ c 1 ;$(0,0)$$(c_1^2,c_1c_2)$$0\le x\le c_1$
• Eine von bis ( c 1 c $(c_1^2,c_1c_2)$ , entsprechend c 1 ≤ x ≤ c 2 ;$(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$$c_1\le x\le c_2$
• Eine von bis ( 1 , 1 ) , entsprechend c 2 ≤ x ≤ 1 .$(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$$(1,1)$$c_2\le x\le1$

Diese drei Liniensegmente teilen das Einheitsquadrat in zwei Teile. Die Fläche des Teils unter dem Diagramm ist die Wahrscheinlichkeit, dass Person 1 die höhere Zahl hat. Einige Geometrien zeigen, dass dieser Bereich . Damit ein stabiles Gleichgewicht besteht, müssen beide partiellen Ableitungen davon Null sein, dh1-c2-2c1c2+c 2 2 =$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$

$$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$$

Das Addieren der Gleichungen zeigt, dass , was nur möglich ist, wenn c 1 = c 2 ist . Einsetzen in eine der Gleichungen, $(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$$c_1=c_2$$1-c_1-c_1^2=0$$c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$