LEN-Modelläquivalenz

Ausgangsposition ist ein Principal-Agent-Modell mit unvollständigen Informationen (Moral Hazard) und folgenden Eigenschaften:

Agent-Dienstprogramm: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
Hauptnutzen: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
Aufwandsstufen $e\in \Bbb R$
$x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
Vertrag: , $w(x)=a+bx$

Dabei ist und das Pfeil-Pratt-Maß für die absolute Risikoaversion für den Agenten bzw. den Auftraggeber. $r_A$ $r_P$

Ich suche nach dem optimalen Vertrag, den der Auftraggeber dem Agenten anbieten kann, wenn die Bemühungen des Agenten nicht sichtbar sind. Der Dienstprogramm des Principals kann wie folgt geschrieben werden:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

Ich möchte zeigen, dass die folgende Äquivalenz gilt, was bedeutet, dass die Maximierung des Nutzens des Principals als RHS der folgenden Äquivalenz geschrieben werden kann:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

wobei $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ ist die Dichtefunktion einer normalen Zufallsvariablen $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ mit dem erwarteten Wert $\mu(e)$ und der Varianz $\sigma>0$ .

Ich habe versucht, die explizite Form von $f(x|e)$ in der LHS zu verwenden, sie ein wenig zu manipulieren und dann zu integrieren, konnte aber die Äquivalenz nicht erhalten.

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Antworten:

Der wichtigste Punkt ist , dass die Haupt des erwarteten Nutzens von einer Auszahlung bedingt auf ein gewisses Maß an Aufwand kann geschrieben werden $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

Mit anderen Worten, da der Reichtum normal verteilt ist, hat der exponentielle Nutzen eine einfache Darstellung der "mittleren Varianz". Eine Ableitung finden Sie hier .

Ich gehe davon aus, dass die Auszahlung des Kapitalgebers gleich . Es ist dann einfach, den (bedingten) Mittelwert und die Varianz von zu berechnen : $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

Daraus folgt, dass der erwartete Nutzen des Principals wie folgt geschrieben werden kann

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$

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