LEN-Modelläquivalenz

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Ausgangsposition ist ein Principal-Agent-Modell mit unvollständigen Informationen (Moral Hazard) und folgenden Eigenschaften:

  • Agent-Dienstprogramm: u(z)=e(raz)
  • Hauptnutzen: B(z)=e(rpz)
  • Aufwandsstufen eR
  • xR,xN(μ(e),σ),μ(e)>0,μ(e)0
  • Vertrag: ,w(x)=a+bx

Dabei ist und das Pfeil-Pratt-Maß für die absolute Risikoaversion für den Agenten bzw. den Auftraggeber.rArP

Ich suche nach dem optimalen Vertrag, den der Auftraggeber dem Agenten anbieten kann, wenn die Bemühungen des Agenten nicht sichtbar sind. Der Dienstprogramm des Principals kann wie folgt geschrieben werden:

UP(e,a,b)=e(rP((1b)xa))f(xe)dx

Ich möchte zeigen, dass die folgende Äquivalenz gilt, was bedeutet, dass die Maximierung des Nutzens des Principals als RHS der folgenden Äquivalenz geschrieben werden kann:

maxe,a,be(rP((1b)xa))f(xe)dxmaxe,a,b(1b)μ(e)arP2(1b)2σ2

wobei f(x|e)=1σ2πe(12(xμ(e)σ)2) ist die Dichtefunktion einer normalen Zufallsvariablen xN(μ(e),σ) mit dem erwarteten Wert μ(e) und der Varianz σ>0 .

Ich habe versucht, die explizite Form von f(x|e) in der LHS zu verwenden, sie ein wenig zu manipulieren und dann zu integrieren, konnte aber die Äquivalenz nicht erhalten.

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Antworten:

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Der wichtigste Punkt ist , dass die Haupt des erwarteten Nutzens von einer Auszahlung bedingt auf ein gewisses Maß an Aufwand kann geschrieben werdenze

E[z|e]rp2Var(z|e).

Mit anderen Worten, da der Reichtum normal verteilt ist, hat der exponentielle Nutzen eine einfache Darstellung der "mittleren Varianz". Eine Ableitung finden Sie hier .

Ich gehe davon aus, dass die Auszahlung des Kapitalgebers gleich . Es ist dann einfach, den (bedingten) Mittelwert und die Varianz von zu berechnen :zxw(x)=(1b)xaz

E[z|e]=(1b)E[x|e]E[a]=(1b)μ(e)a,

Var[z|e]=(1b)2Var(x|e)Var(a)=(1b)2σ2.

Daraus folgt, dass der erwartete Nutzen des Principals wie folgt geschrieben werden kann

(1b)μ(e)arp2(1b)2σ2.


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