Der Preis ist richtig Gebotsstrategien

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Wenn Sie mit dem Spiel "The Price is Right" nicht vertraut sind, werden zu Beginn vier Bieter ausgewählt, die den Preis eines Konsumobjekts erraten müssen. Wer dem Einzelhandelswert am nächsten kommt (auf den Dollar gerundet), ohne darüber nachzudenken, spielt ein anderes Preisspiel. Das Spiel erfolgt nacheinander, sodass Sie sich vorstellen können, dass das letzte Bieten einen Vorteil bietet. In diesem Artikel wird untersucht, ob sich Spieler in diesem ersten Teil des Spiels rational verhalten oder ob sie an eine einfachere Entscheidungsregel gebunden sind.

Das Papier hat einen Vorschlag:

Angenommen, die Teilnehmer haben rationale Erwartungen. Dann im Gleichgewicht,

1. Der vierte Bieter muss mindestens so oft gewinnen wie der dritte Bieter; und der dritte Bieter muss mindestens so oft gewinnen wie der erste oder der zweite Bieter.
2. Der vierte Bieter muss mindestens 1/3 der Zeit gewinnen.
3. Der erste und der zweite Bieter zusammen können nicht mehr als 4/9 der Zeit gewinnen.

Der Anhang beginnt dann in seinem Beweis die folgende Erklärung:

Wenn ein Bieter glaubt, dass seine Gewinnwahrscheinlichkeit die eines anderen Bieters übersteigt, muss dieser Glaube korrekt sein, da jeder Bieter vernünftige Erwartungen hat. Um zu zeigen, dass ein Bieter öfter gewinnt als ein anderer Bieter, reicht es aus, zu zeigen, dass er glaubt, öfter zu gewinnen.

Welches ist in Ordnung.

Betrachten Sie zuerst den letzten Bieter. Da seine optimale Strategie darin besteht, das Intervall zu wählen, von dem er glaubt, dass es ihm die größte Gewinnwahrscheinlichkeit gibt, muss er davon ausgehen, dass er es mindestens genauso gut macht wie jeder frühere Bieter.

Ich verstehe diesen Teil der Erklärung nicht. Ist die Logik, dass der letzte Bieter 1 Dollar über dem bietet, der die beste Ausschüttung erzielt, und wenn dann jemand eine bessere Gewinnchance als der letzte Bieter hätte, würde der Bieter einfach 1 Dollar über dieser Person bieten?

Ja. Beachten Sie, dass die Autoren in dem Artikel davon ausgehen, dass der Aktionsraum kontinuierlich ist, so dass es möglich ist, in willkürlich kleinen Bruchteilen eines Dollars zu bieten.

Angenommen, Spieler in haben Gebote , die ohne der Allgemeinheit nach . Schreiben Sie für den aktuellen Preis.$i\in\{1,2,3\}$$b_i$$b_1<b_2<b_3$$p$

Wenn wir Spieler vier für einen Moment vergessen, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit der Spieler hoch

$$\Pr(1\text{ wins})=\Pr(b_1\leq p< b_2)\equiv \pi_1$$ $$\Pr(2\text{ wins})=\Pr(b_2\leq p< b_3)\equiv \pi_2$$ $$\Pr(3\text{ wins})=\Pr(b_3\leq p)\equiv \pi_3.$$

Angenommen, . Dann ist es für 4 optimal, ( positiv und klein) zu bieten . Dies würde zu $\pi_1>\pi_2,\pi_3$$b_4=b_1+\epsilon$$\epsilon$

$$\Pr(1\text{ wins})=0$$ $$\Pr(2\text{ wins})=\Pr(b_2\leq p< b_3)$$ $$\Pr(3\text{ wins})=\Pr(b_3< p)$$ $$\Pr(4\text{ wins})=\Pr(b_1\leq p< b_2).$$

Man kann leicht überprüfen, dass impliziert, dass größer ist als die Gewinnwahrscheinlichkeit eines Rivalen. Wenn wir hätten, wäre es für optimal, zu bieten .$\pi_1>\pi_2,\pi_3$$\Pr(4\text{ wins})$$\pi_2>\pi_1,\pi_3$$4$$b_4=b_2+\epsilon$

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edit: Die obige Überlegung funktioniert, wenn wir (mit strikter Ungleichung). Was aber, wenn die Ungleichung nicht streng ist?$\pi_1>\pi_2,\pi_3$

Angenommen, und . Dann scheint es so, als ob eine geringere Gewinnwahrscheinlichkeit ergeben muss als die, die Spieler 2 für ein positives genießt . in der Tat hätten wir In ähnlicher Weise eine geringere Gewinnwahrscheinlichkeit als Spieler 1 für ein positives .$b_1<b_2<b_3$$\pi_1=\pi_2>\pi_3,\Pr(p<b_1)$$b_4=b_1+\epsilon$$\epsilon$

$$\Pr(b_1+\epsilon\leq p<b_2)<\Pr(b_1\leq p<b_2)=\Pr(b_2\leq p<b_3).$$ $b_4=b_2+\epsilon$$\epsilon$

Ich denke, dass dies im Gleichgewicht nicht passieren wird, also denke ich, dass das Ergebnis in Ordnung ist. Aber es lässt den Beweis ein bisschen von Hand winken.