Implikation der stochastischen Dominanz erster Ordnung

Verwenden Sie den Utility-Index zu beweisen, dass der Mittelwert von unter den Mittelwert von unter nicht überschreiten kann , wenn die Verteilung von erster Ordnung die Verteilung stochastisch dominiert . $U(x) = x$ $F$ $G$ $x$ $G$ $x$ $F$

Versuchter Beweis - Angenommen, das erster Ordnung dominiert stochastisch dann Da die Erwartung die Linearität beibehält, folgt $F$ $G$

F (x) \leq G (x) \forall x

$F(x) \leq G(x) \ \ \forall x$

E [F (x)] \leq E [G (x)] \forall x

$\mathbb{E}\left[F(x)\right] \leq \mathbb{E}\left[G(x)\right] \ \ \forall x$

Ich bin mir nicht sicher, ob dies richtig oder streng genug ist. Vorschläge werden sehr geschätzt.

utility financial-economics Wolfy
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Was hat die Erhaltung der Linearität mit all diesen ... zu tun?

Giskard

Wir erhalten zwei CDFs und , so dass FOSD dh . Betrachten wir die Zufallsvariablen und . Angenommen, und nicht negative Werte. $F$ $G$ $F$ $G$ $F(x) \leq G(x)$ $\forall x$ $X\sim F$ $Y\sim G$ $X$ $Y$

Wir wollen zeigen, dass . $\mathbb{E}(X) \geq \mathbb{E}(Y)$

Hier ist die Intuition: bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable Werte kleiner als annimmt, kleiner ist als die Wahrscheinlichkeit, dass Werte kleiner als annimmt , und dies gilt für jedes . Daher nimmt häufiger höhere Werte als als was darauf hinweist, dass den höheren Mittelwert als . $F(x) \leq G(x)$ $\forall x$ $X$ $x$ $Y$ $x$ $x$ $X$ $x$ $Y$ $X$ $Y$

Hier ist der Beweis:

\begin{array}{rcl} F (x) \leq G (x) \forall x \\ \to & 1 - F (x) \geq 1 - G (x) \forall x \\ \to & \int_{0}^{\infty} 1 - F (x) d x \geq \int_{0}^{\infty} 1 - G (x) d x \\ \to & \int_{0}^{\infty} Pr (X > x) d x \geq \int_{0}^{\infty} Pr (Y > x) d x \\ \to & \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f_{X} (a) d a d x \geq \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f_{Y} (a) d a d x \\ \to & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} f_{X} (a) d x d a \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} f_{Y} (a) d x d a \\ \to & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} d x f_{X} (a) d a \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} d x f_{Y} (a) d a \\ \to & \int_{0}^{\infty} a f_{X} (a) d a \geq \int_{0}^{\infty} a f_{Y} (a) d a \\ \to & E (X) \geq E (Y) \end{array}

$\begin{eqnarray*} & F(x) \leq G(x) \ \ \ \forall x \\ \rightarrow & 1 - F(x) \geq 1- G(x) \ \ \ \forall x \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty}1 - F(x) dx \geq \int_{0}^{\infty} 1- G(x)dx \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty}\Pr(X> x) dx \geq \int_{0}^{\infty} \Pr(Y> x)dx \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_X(a) da dx \geq \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_Y(a) da dx \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a}f_X(a) dx da \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a}f_Y(a) dx da \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} dx \ f_X(a) \ da \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} dx \ f_Y(a) \ da \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} a \ f_X(a) \ da \geq \int_{0}^{\infty} a \ f_Y(a) \ da \\ \rightarrow & \mathbb{E}(X) \geq \mathbb{E}(Y) \ \end{eqnarray*}$

Amit
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