Ist es möglich, Indifferenzkurven bei einer Marshall-Nachfragefunktion abzuleiten?

Wird in einer Welt mit zwei guten Gütern eine marshallische Nachfrage funktionieren, wie z. B. D(p,m)wo p der Preis eines Gutes ist und m das Einkommen eine Nutzfunktion oder eine Indifferenzkurvenfunktion ergibt? Wenn ja, wie geht man vor, um dies zu lösen?

Ja, unter bestimmten Bedingungen. Dies ist das klassische Integrierbarkeitsproblem : Für eine ausführliche Diskussion siehe einige ausgezeichnete Notizen von Kim Border .

Es sind mehrere andere technische Bedingungen erforderlich, aber die wirtschaftlich wesentlichste Bedingung ist, dass die Slutsky-Matrix immer symmetrisch und negativ semidefinit sein muss. Um konkret zu sein, wenn wir das te Element der Slutsky-Matrix bei ( p , m ) als σ i j ( p , m ) = ∂ D i ( p , m $ij$$(p,m)$ dann müssen wirσij(p,m)=σji(p,m)für alle(p,m)und auch für jeden Vektorv haben, denwir für alle(p,m)∑i∑ haben müssenjσij(p,m)vivj≤0 DieNotwendigkeit

$$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$$ $\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$$(p,m)$$v$$(p,m)$ $$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$$ Diese Bedingungen ergeben sich unmittelbar aus der grundlegenden Verbrauchertheorie, die zeigt, dass die Slutsky-Matrix symmetrisch und negativ semidefinit ist, wenn die Marshallsche Nachfrage aus der eingeschränkten Maximierung einer Nutzfunktion abgeleitet wird. Das Ausreichen dieser Bedingungen (in Verbindung mit einigen anderen technischen Annahmen), um eine Dienstprogrammfunktion zurückzusetzen, ist jedoch komplizierter. Um die Details zu erhalten, empfehle ich die Notizen von Border oder eine andere erweiterte Mikroquelle.

$i=1,2$

$$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$$ $D$$e$$(\bar{p},\bar{m})$$\bar{u}$$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$$p_1$$i=1$$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$$p_1$ $$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$$ $p_1$

$\bar{u}$$p_1$$p_1$