Was ist ein Beispiel für eine Nutzenfunktion, bei der ein Gut minderwertig ist?

Angenommen, der Verbraucher hat eine konvexe, monotone Standardpräferenz gegenüber Äpfeln und Bananen.

(Update: Ich möchte, dass die Präferenz so "Standard" wie möglich ist. Idealerweise haben wir überall eine abnehmende MRS und wir haben auch überall "mehr ist besser".)

Angenommen, seine Präferenz kann durch eine Dienstprogrammfunktion . Er muss eine Budgetbeschränkung erfüllen p A A + p B B = y , wobei y sein Einkommen ist.$u(A,B)$$p_AA+p_BB=y$$y$

Was ist dann ein Beispiel für eine Utility-Funktion, in der , zumindest unter bestimmten Umständen?$\frac{\partial A}{\partial y}<0$

Dies scheint mir eine sehr einfache Frage zu sein, aber kurz googeln kann ich nichts finden.

Ein Gut kann nicht über den gesamten Einkommensbereich minderwertig sein.

Das Papier Eine bequeme Nutzenfunktion mit Giffen-Verhalten zeigt, dass für eine Person mit Nutzen der Form:

$$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$$

X ist minderwertig, wenn $\gamma_x$ und $\gamma_y$ positiv sind, $0<\alpha_1<\alpha_2$ und in der Domäne $x>\gamma_x$ und $0\leq y<\gamma_y$ .

Update:

$$U(x,v) = x + \ln(v)$$ Wenn das Budget ist $w$ , $v^* = \min(P_x / P_V, w)$ so für $w>P_x / P_V$ $v$ ist minderwertig klebrig gut . Es wurde erkannt, dass dies tatsächlich eine Einkommenselastizität von Null ist, keine negative, daher ist sie nicht minderwertig.

Ich habe eine andere funky funktionale Form für eine Gebrauchsfunktion gefunden, bei der ein Gut minderwertig ist, aber auch der Grenznutzen des anderen Gutes zunimmt: Ein minderwertiges Gut und eine neuartige Gleichgültigkeitskarte

$$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$$ Diese Funktion eine verrückt Indifferenz Karte gibt.

Das klassische Beispiel für minderwertige Waren sind für mich Dinge wie billiges Essen, bei denen leckeres Essen, das viel teurer ist, es verdrängt, weil es eine zusätzliche Einschränkung (Magenkapazität) gibt, die sich schließlich bindet. Es sollte leicht möglich sein, ein Beispiel zu nennen, bei dem Minderwertigkeit eher eine Folge dieser zweiten Einschränkung als der Nutzfunktion ist.

Update mit einem anderen Beispiel:

$$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$$ $\alpha, \beta, \lambda,$$\delta$

Aber wie in den obigen Funktionen hat diese Dienstprogrammfunktion eine zunehmende MU in einem Gut (Y). Dies ist anscheinend in Giffen-Einstellungen üblich:

Im Fall einer additiven Nutzenfunktion, bei der der Grenznutzen aller Waren mit dem Verbrauch der Waren abnimmt, dh der Grenznutzen des Einkommens abnimmt, sind alle Waren normal und ersetzen einander netto. Wenn jedoch für einige gute (in unserem Fall gutes Y) der Grenznutzen positiv und steigend ist und für die anderen Güter der Grenznutzen (die Grenzwerte) abnimmt (in unserem Fall gut X), dann Der Grenznutzen des Einkommens nimmt zu. Das Gut, das einen zunehmenden Grenznutzen aufweist, ist ein Luxusgut, während das Gut, das einen abnehmenden Grenznutzen aufweist, ein minderwertiges Gut ist. Diese Eigenschaften wurden von Liebhafsky (1969) und Silberberg (1972) und wen bewiesen: zur Entwicklung der obigen Nutzfunktion, die den Fall eines Giffen-Gutes veranschaulicht.

Mal sehen, was die Minderwertigkeit eines Gutes im Fall von zwei Guten impliziert. Schauen Sie sich Silberbergs "The Structure of Economics" an (immer noch eines der besten Lehrbücher für Mikroökonomie für Studenten, die jemals geschrieben wurden), Kap. 10 für weitere Details.

Die Nutzenmaximierung wird beschrieben durch (Sterne bezeichnen optimale Werte)

$$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$$ $$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$$ $$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$$

$3 \times 3$$A$$\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

$$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$$

$U_{BB} >0$$U_{AB}$

$U_{BB} <0$$U_{AB}$

Vielleicht können Sie so etwas in Betracht ziehen

$$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$$

$a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

$0<h<1$$A$$B$$A$$\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

KOMMENTAR 7. Oktober 2015
Einige Kommentare in dieser Antwort scheinen mir das Problem der Präferenzrepräsentation und der Beibehaltung des Präferenzrankings unter monotonen Transformationen mit der Eigenschaft "Minderwertigkeit" eines Gutes zu verwechseln. Präferenzen und ihre Darstellung haben nichts mit dem Bestehen einer Budgetbeschränkung zu tun. Auf der anderen Seite hat "Minderwertigkeit" alles mit dem Vorhandensein einer Budgetbeschränkung zu tun und damit, wie sie sich auf Entscheidungen ( nicht auf Präferenzen) auswirkt, wenn sie sich ändern.

$V = A^k+ B^h$$U =\ln(A^k+ B^h)$$\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$$\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

$n$

$u(x_1,x_2)$$v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$$f$$u$