Intertemporale Nutzenmaximierung

Angenommen, das Leben eines Wirtschaftsagenten ist in zwei Perioden unterteilt: Die erste Periode bildet seine Jugend und die zweite sein Alter. In beiden Zeiträumen ist ein einziges Verbrauchsgut C verfügbar. Die Utility-Funktion des Agenten ist gegeben durch

$$U(C_{1},C_{2}) = \frac{C_{1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2}^{1-\theta }-1}{1-\theta }$$

mit , und wobei der erste Term den Nutzen aus dem Verbrauch während der Jugend darstellt. Der zweite Term steht für den abgezinsten Nutzen aus dem Verbrauch im Alter, wobei 1 / ( 1 + ρ ) der Abzinsungsfaktor ist.$0<θ < 1,ρ > 0$$1/(1+ ρ )$

Während des Zeitraums hat die Agentin eine Arbeitseinheit, die sie unelastisch für einen Lohnsatz liefert . Einsparungen (dh Einkommen abzüglich Verbrauch in der ersten Periode) werden mit einem Zinssatz r verzinst , dessen Erlös im Alter in Einheiten des einzigen in der Wirtschaft verfügbaren Verbrauchsgutes verfügbar ist. Einsparungen bezeichnen durch s . Die Agentin maximiert die Nebenkosten entsprechend ihrer Budgetbeschränkung.$w$$r$$s$

Zeigen Sie, dass θ die Elastizität des Grenznutzens in Bezug auf den Verbrauch in jeder Periode darstellt.$i)$$θ$

Notieren Sie das Optimierungsproblem der Agentin, dh das Problem der Maximierung des Nutzens, das der Budgetbeschränkung unterliegt.$ii)$

Finden Sie einen Ausdruck für s als Funktion von w und r .$iii)$$w$$r$

Wie ändert sich s als Reaktion auf eine Änderung von r ? Zeigen Sie insbesondere, dass diese Änderung davon abhängt, ob θ die Einheit überschreitet oder unterschreitet.$(iv)$$r$$θ$

Geben Sie eine intuitive Erklärung für Ihren Befund in ( i v $(v)$$(iv)$

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Ich bin nicht in der Lage, dieses Problem zu lösen. Ich beweisen den ersten Teil .$i$

$$C_{2}= (w-C_{1})(1+r)$$

Also, Optimierungsproblem =$ii)$

$$\frac{C_{1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\lambda (w-C_{1}-(w-C_{1})(1+r))$$

Wie drücken wir dieses int mit w und r aus ?$iii) s=w-C_{1}$$w$$r$

Jede Hilfe mit dieser Summe wird geschätzt.

Was Sie haben, ist im Grunde das Fisher-Problem der Zwei-Perioden-Optimierung. (Fischer)

Zu iii) Sie müssen zuerst die Euler-Gleichung finden, die Ihnen zeigt, wie Sie den Verbrauch in der ersten und zweiten Periode optimal gegeneinander abwägen können.

$$\frac{C_{1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\frac{1}{1+\rho}\frac{C_{2}^{1-\theta }-1}{1-\theta }+\lambda (w-C_{1}-\frac{C_{2}}{1+r})$$

Sie finden die Euler-Gleichung, indem Sie die Zustände erster Ordnung beider Verbrauchsbedingungen ableiten und gleichsetzen.

$$\frac{1}{1+r} C_{1}^{-\theta }= \frac{1}{1+\rho}C_{2}^{-\theta }$$

$C_{1}$$C_{2}=s(1+r)$$s=w-C_{1}$

$$s=w-(1+r)^{\frac{\theta-1}{\theta}}(1+\rho)^{\frac{1}{\theta}}s \\ s=\frac{w}{1+(1+r)^{\frac{\theta-1}{\theta}}(1+\rho)^{\frac{1}{\theta}}}$$

$r$

$$\frac{\partial s}{\partial r}= -\frac{(\theta -1) w ( 1+\rho)^{1/\theta } (1+r)^{1/\theta }}{\theta \left((\rho +1)^{1/\theta }+r (\rho +1)^{1/\theta }+(r+1)^{1/\theta }\right)^2}$$

$0<\theta<1$

$\theta>1$