Welches Axio von Anscombe-Aumann impliziert das Sure-Thing-Prinzip?

Stellen Sie sich eine Anscombe-Aumann-Einstellung vor und nehmen Sie an, dass eine Präferenzbeziehung alle ursprünglichen Axiome von Anscombe-Aumann (Rationalität, Kontinuität, Unabhängigkeit und Monotonie) erfüllt.

Wenn wir die Aufmerksamkeit auf reine Pferderennen beschränken (dh ohne objektive Unsicherheit handeln), läuft das Anscombe-Aumann-Modell auf eine subjektiv erwartete Darstellung des Nutzens a la Savage hinaus. Daher erfüllt der Entscheidungsträger bei reinen Pferderennen alle Axiome von Savage, insbesondere das Sure-Thing-Prinzip (P2 in Savages Terminologie).

Ich sehe keinen direkten Zusammenhang zwischen Anscombe-Aumanns Axiomen und dem Sure-Thing-Prinzip. Sieht jemand, wie das Sure-Thing-Prinzip durch Anscombe-Aumanns Axiome impliziert wird? Ergibt es sich insbesondere nur aus der Unabhängigkeit oder sind Unabhängigkeit UND Monotonie erforderlich?

Als erste Bemerkung: Die Anscombe-Aumann-Axiome, insbesondere die Unabhängigkeit, werden über Handlungen definiert, die den Zustandsraum in einen linearen Raum bringen (im Allgemeinen einfache Lotterien über Konsumobjekte). Selbst wenn wir die Beschränkung des Modells auf rein subjektiv unsichere Handlungen betrachten, müssen wir immer noch das vollständige Modell verwenden, sonst verlieren wir Informationen.

Davon abgesehen: Lassen wir einen endlichen Zustandsraum und eine endliche Menge von Alternativen sein. Let bezeichnen alle die Lotterien über und ist eine Handlung. Für ein Ereignis sei die durch definierte Handlung. X Δ ( X ) X f : S → Δ ( X ) E ⊆ S f - E g f - E g { f ( s ) ,  wenn  x ∈ E g ( s ) ,  wenn  x ∉ E $S$$X$$\Delta(X)$$X$$f: S \to \Delta(X)$$E \subseteq S$$f_{-E}g$

$$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$

Nun können wir sagen, dass unser Modell das Prinzip der sicheren Sache erfüllt , wenn und dannDiese Definition gilt für alle Handlungen, nicht nur für solche ohne objektives Risiko, sondern Sie können natürlich nur die relevante Projektion berücksichtigen.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$$f \succsim g.$

Nehmen Sie den Vorgänger des STP an. Aus und Unabhängigkeit haben wir das Beachten Sie, dass wir dies als und bei Anwendung der Unabhängigkeit $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$

$$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$$

In analoger Weise haben wir aus und Unabhängigkeit das Wieder können wir als und wir die Unabhängigkeit erneut anwenden, erhalten wir $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$$

Die Kombination von (1) und (2) über Transitivität ergibt die gewünschten Beziehungen. Zurück zur einleitenden Bemerkung: Beachten Sie, dass wir zur Anwendung der Unabhängigkeit Handlungen mischen müssen, die das objektive Risiko ansprechen. Selbst wenn , und kein objektives Risiko haben, brauchen wir dennoch riskante Handlungen, um als Vermittler für den Beweis zu dienen. In gewissem Sinne ist dies die großartige Einsicht in das gesamte AA-Framework - unter Verwendung des objektiven Risikos, um die Notwendigkeit eines unendlichen Zustandsraums zu umgehen, indem die Linearität der Erwartungen verwendet wird, um das STP zu erzwingen.$f$$g$$h$

Beachten Sie, dass nur Unabhängigkeit und Transitivität verwendet wurden. Dies sollte darauf hinweisen, dass selbst die staatlich abhängige EU (wo Monotonie / Staatsunabhängigkeit versagt) oder die Bewley EU (wo die Vollständigkeit gelockert wird) die STP noch erfüllen werden.

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Bearbeiten als Antwort auf einen Kommentar: Nennen wir den obigen Begriff des Sure-Thing-Prinzips STP1 und sagen, dass die Präferenz STP2 erfüllt, wenn für alle . Wenn dann eine Vorbestellung ist, erfüllt es STP1 genau dann, wenn es STP2 erfüllt.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$$f,g,h,h'$$\succsim$

Nehmen wir zunächst an, dass STP2 gilt und dass und . Dann haben wir durch STP2 Transitivität impliziert ; STP1 gilt.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ $f \succsim g$

Als nächstes wird angenommen, dass STP1 gilt und . Definieren Sie und analog. Per Definition daher ist unsere Annahme identisch, dass Weiter so dass wir durch die Reflexivität der Präferenz haben, dass Nun können wir STP1 auf (3) und (4) anwenden, um das$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$\hat f = f_{-E}h'$$\hat g$

$$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ $$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$$ $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ $$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$$ $\hat f \succsim \hat g$, was angesichts ihrer Definition genau das ist, was wir zeigen müssen, damit STP2 funktioniert.