Welches Axio von Anscombe-Aumann impliziert das Sure-Thing-Prinzip?

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Stellen Sie sich eine Anscombe-Aumann-Einstellung vor und nehmen Sie an, dass eine Präferenzbeziehung alle ursprünglichen Axiome von Anscombe-Aumann (Rationalität, Kontinuität, Unabhängigkeit und Monotonie) erfüllt.

Wenn wir die Aufmerksamkeit auf reine Pferderennen beschränken (dh ohne objektive Unsicherheit handeln), läuft das Anscombe-Aumann-Modell auf eine subjektiv erwartete Darstellung des Nutzens a la Savage hinaus. Daher erfüllt der Entscheidungsträger bei reinen Pferderennen alle Axiome von Savage, insbesondere das Sure-Thing-Prinzip (P2 in Savages Terminologie).

Ich sehe keinen direkten Zusammenhang zwischen Anscombe-Aumanns Axiomen und dem Sure-Thing-Prinzip. Sieht jemand, wie das Sure-Thing-Prinzip durch Anscombe-Aumanns Axiome impliziert wird? Ergibt es sich insbesondere nur aus der Unabhängigkeit oder sind Unabhängigkeit UND Monotonie erforderlich?

Oliv
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Antworten:

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Als erste Bemerkung: Die Anscombe-Aumann-Axiome, insbesondere die Unabhängigkeit, werden über Handlungen definiert, die den Zustandsraum in einen linearen Raum bringen (im Allgemeinen einfache Lotterien über Konsumobjekte). Selbst wenn wir die Beschränkung des Modells auf rein subjektiv unsichere Handlungen betrachten, müssen wir immer noch das vollständige Modell verwenden, sonst verlieren wir Informationen.

Davon abgesehen: Lassen wir einen endlichen Zustandsraum und eine endliche Menge von Alternativen sein. Let bezeichnen alle die Lotterien über und ist eine Handlung. Für ein Ereignis sei die durch definierte Handlung. X Δ ( X ) X f : S Δ ( X ) E S f - E g f - E g { f ( s ) ,  wenn  x E g ( s ) ,  wenn  x E .SXΔ(X)Xf:SΔ(X)ESfEg

fEg{f(s) if xEg(s) if xE.

Nun können wir sagen, dass unser Modell das Prinzip der sicheren Sache erfüllt , wenn und dannDiese Definition gilt für alle Handlungen, nicht nur für solche ohne objektives Risiko, sondern Sie können natürlich nur die relevante Projektion berücksichtigen.fEhgEhfEchgEchfg.

Nehmen Sie den Vorgänger des STP an. Aus und Unabhängigkeit haben wir das Beachten Sie, dass wir dies als und bei Anwendung der Unabhängigkeit fEhgEh

12fEh+12fEch12gEh+12fEch.
12f+12h12gEf+12h
(1)fgEf.

In analoger Weise haben wir aus und Unabhängigkeit das Wieder können wir als und wir die Unabhängigkeit erneut anwenden, erhalten wir fEchgEch

12fEch+12gEh12gEch+12gEh.
12gEf+12h12g+12h
(2)gEfg.

Die Kombination von (1) und (2) über Transitivität ergibt die gewünschten Beziehungen. Zurück zur einleitenden Bemerkung: Beachten Sie, dass wir zur Anwendung der Unabhängigkeit Handlungen mischen müssen, die das objektive Risiko ansprechen. Selbst wenn , und kein objektives Risiko haben, brauchen wir dennoch riskante Handlungen, um als Vermittler für den Beweis zu dienen. In gewissem Sinne ist dies die großartige Einsicht in das gesamte AA-Framework - unter Verwendung des objektiven Risikos, um die Notwendigkeit eines unendlichen Zustandsraums zu umgehen, indem die Linearität der Erwartungen verwendet wird, um das STP zu erzwingen.fgh

Beachten Sie, dass nur Unabhängigkeit und Transitivität verwendet wurden. Dies sollte darauf hinweisen, dass selbst die staatlich abhängige EU (wo Monotonie / Staatsunabhängigkeit versagt) oder die Bewley EU (wo die Vollständigkeit gelockert wird) die STP noch erfüllen werden.


Bearbeiten als Antwort auf einen Kommentar: Nennen wir den obigen Begriff des Sure-Thing-Prinzips STP1 und sagen, dass die Präferenz STP2 erfüllt, wenn für alle . Wenn dann eine Vorbestellung ist, erfüllt es STP1 genau dann, wenn es STP2 erfüllt.fEhgEhfEhgEhf,g,h,h

Nehmen wir zunächst an, dass STP2 gilt und dass und . Dann haben wir durch STP2 Transitivität impliziert ; STP1 gilt.fEhgEhfEchgEch

f=fEfgEf and gEf=fEcgg.
fg

Als nächstes wird angenommen, dass STP1 gilt und . Definieren Sie und analog. Per Definition daher ist unsere Annahme identisch, dass Weiter so dass wir durch die Reflexivität der Präferenz haben, dass Nun können wir STP1 auf (3) und (4) anwenden, um dasfEhgEhf^=fEhg^

f^Eh=fEh and g^Eh=gEh,
(3)f^Ehg^Eh.
f^Ech=g^Ech=hEh
(4)f^Echg^Ech.
f^g^, was angesichts ihrer Definition genau das ist, was wir zeigen müssen, damit STP2 funktioniert.
201p
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(+1) Eine Frage: Es wurde gezeigt, dass das STP verlangt, dass Handlungen die Wahrscheinlichkeiten über die Ereignisse nicht beeinflussen, andernfalls kann es nicht gelten. Wird dies durch das AA-Rahmenwerk abgedeckt / garantiert?
Alecos Papadopoulos
@ 201p tolle Antwort, vielen Dank. Eine Frage: Die Standarddefinition des STP lautet: . Entspricht Ihre Definition dieser? fEhgEhfEhgEh
Oliv
@AlecosPapadopoulos Ist es nicht das Axiom P4 (anstelle von P2), das erfordert, dass Wahrscheinlichkeiten unabhängig von Handlungen sind? Haben Sie andernfalls eine Referenz für Ihren Anspruch?
Oliv
@Oliv Sicher, überprüfen Sie ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r466.pdf und die darin enthaltene Literatur.
Alecos Papadopoulos
@AlecosPapadopoulos vielen Dank, das ist sehr nützlich.
Oliv