Ermitteln der Anforderungsfunktion bei Verwendung einer Dienstprogrammfunktion min (x, y)

Ich bin verwirrt über einen bestimmten Punkt in Bezug auf das Finden einer Nachfragefunktion. Alle Probleme in diesem Übungssatz betrafen die Anwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Ich bin mir aber nicht sicher, ob es hier für dieses Problem gilt.

Problemeinrichtung

$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Meine Arbeit

Noch nicht viel zu tun. Ich habe eine Budgetbeschränkung .$w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$

Meine Verwirrung

Ich war bereit, eine Lagrange-Multiplikatorgleichung aufzustellen, als mir plötzlich klar wurde, dass meine Utility-Funktion eine Funktion ist. Zuerst dachte ich, diese Funktion sei nicht differenzierbar. Jetzt denke ich, dass es nicht differenzierbar ist, aber es ist teilweise differenzierbar. Ich bin mir immer noch nicht sicher.$\min$

Meine Vermutung

Ich vermute ja ist aufgrund dieses Threads teilweise differenzierbar$\min$

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Aber ich vermute, dass meine Antwort eine stückweise Komponente oder so etwas benötigt.

Meine Frage

Sind hier Lagrange-Multiplikatoren anwendbar? Wenn ja, wie definiere ich den Lagrange stückweise so, wie ich es für nötig halte? Wenn es nicht differenzierbar ist, wie leitet man eine Anforderungsfunktion mit einer oder einer Funktion ab?$\min$$\max$

Nein, Sie sollten hier keine Lagrange-Multiplikatoren verwenden, sondern fundiertes Denken. Angenommen, , sagen wir zur Konkretheit . Sei . Dann ist So könnte die Verbraucherin ihren Verbrauch von Gut 2 reduzieren, ohne schlechter dran zu sein. Auf der anderen Seite hätten wir für alle , so dass der Verbraucher besser sein könnte indem der Verbrauch des zweiten Gutes reduziert und das freigesetzte Geld für das erste Gut ausgegeben wird. Im Optimum kann sich ein Verbraucher nicht verbessern, daher erfordert die Optimalität . Es ist auch klar, dass sich die Verbraucher entlang verbessern$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$45 ° Strahl. Sie können also einfach als Optimalitätsbedingung verwenden, um sie in Ihre Budgetbeschränkung einzufügen und Lagrange-Multiplikatoren zu umgehen.$x=y$