Wie kann man eine Formel für die Grenzwahrscheinlichkeit der Auswahl eines Nestes im verschachtelten Logit-Modell ableiten?

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Ich versuche, alle Details des verschachtelten Protokolls zu verstehen, und was mich verwirrt, ist die Formel für die marginale Wahrscheinlichkeit, das Nest zu wählen. Genauer gesagt: Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum n die Alternative j wählt, kann als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum n das Nest k wählt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum i das j wählt, unter der Bedingung, dass es das Nest k gewählt hat, berücksichtigt werden.

Soweit ich weiß, zerlegen wir den Entscheidungsprozess in zwei Modelle: das obere und das untere. Im oberen Modell wählt der Entscheider ein Nest und im unteren - die Alternative innerhalb des Nestes. Sagen Sie Nützlichkeit von Individuum n, das Alternative j im Nest k wählt, ist

Unjk=Wnk+Ynj+ϵnk+enj

Dabei ist EV I mit dem Skalenparameter und so, dass der zusammengesetzte Fehlerterm EV I mit dem Skalenparameter 1 ist.enjλkϵnk

Das untere Modell ist trivial, es ist ein einfaches Protokoll. Das obere Modell ist mir jedoch nicht klar. Der erwartete Nutzen von Individuum n bei der Auswahl von Nest k ist

EUnk=Wnk+λkInk+ϵnk

Dabei wird erwartet, dass Dienstprogramm ist, das n aus der Auswahl innerhalb des Nestes erhält. Und die Grenzwahrscheinlichkeit für die Wahl von Nest k istλkInk

PnBk=eWnk+λkInkl=1KeWnl+λkIn

Meine Frage ist, wie hat diese Wahrscheinlichkeit eine Logit-Form, wenn kein Extremwert ist? Oder ist es? Denn meines Wissens ist die Summe zweier Extremwertvariablen kein Extremwert.ϵnk

Vielen Dank!

Daria
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Willkommen bei der Economics SE. Ich verstehe nicht Ihre ganze Notation, können Sie bitte erklären, was sind? Wnk,Ynj,Bk
Giskard
Y n j W n k W n k = β X n k X n k Y n jWnk und sind deterministische Teile des Dienstprogramms. variiert nur zwischen Nestern und ist innerhalb des Nestes konstant, sagen wir , wenn Merkmale des Nestes sind. Das gleiche gilt für , aber es variiert auch innerhalb des Nestes. YnjWnkWnk=βXnkXnkYnj
Daria

Antworten:

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Wie sich herausstellte, war meine vorherige Logik falsch. So sollte es gemacht werden.

Die marginale Wahrscheinlichkeit, Nest wählen, ist k

PnBk=P[maxjBkUnjkmaxjBsUnjs,sk]=P[Wnk+ϵnk+maxjBk(Ynj+enj)Wns+ϵns+maxjBs(Ynj+enj),sk]

Dann, da iid , ist iid Gumbel mit dem und dem Skalenparameter . Die Gumbel-Verteilung bleibt über lineare Transformationen erhalten, sodass wobei iid . Setzt man zurück auf marginale Wahrscheinlichkeit, erhalten enjGumbel(0,λt)maxjBk(Ynj+enj)λkInkλk

maxjBk(Ynj+enj)=λkInk+ξnk
ξnkGumbel(0,λt)
PnBk=P[(ϵnk+ξnk)(ϵnk+ξnk)(Wnk+λkInk)(Wns+λsIns),sk]=eWnk+λkInks=1KeWns+λsIns

die letzte Gleichung folgt aus der Tatsache , dass ist IId durch Annahme auf . G u m b e l ( 0 , 1 ) ϵ n kϵnk+ξnkGumbel(0,1)ϵnk

Daria
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