Gale-Shapley-Folgeliteratur und allgemeine Fragen

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Der Gale-Shapley-Algorithmus ist eine Methode zum Matchmaking zwischen zwei verschiedenen Einheiten von Menschen. Es garantiert, dass jeder einzelne Spieler übereinstimmt und dass die Spiele stabil sind.

Welche Art von Literatur wurde daraus aufgebaut? Wie verändert sich die soziale Wohlfahrt, wenn die beiden Einheiten nicht die gleiche Anzahl von Personen in sich haben, so dass nicht jeder übereinstimmen kann? Gibt es schnellere Möglichkeiten, Personen miteinander abzugleichen (geringere Laufzeit?). Und vor allem, welche Anwendungen hat der Gale-Shapley-Algorithmus in der Wirtschaft?

Es scheint ein sehr seltsames spieltheoretisches Modell zu sein, nur weil es beim Lesen des Beweises für die Gültigkeit des Algorithmus nicht so aussieht, als sei das Problem "diskret". Das heißt, die Optimierung, wer mit wem übereinstimmt, und das Finden eines Pareto-effizienten Ergebnisses können nicht durch Maximierung einer kontinuierlichen Funktion gelöst werden. (Ist die Gale-Shapley-Zuweisung Pareto als Nebenfrage effizient?)

Bearbeiten Ich wollte im zweiten Absatz sagen: "Es scheint, als ob das Problem" diskret "ist. Also entschuldige ich mich dort.

Kitsune Kavallerie
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Gale-Shapley wird bei Zulassungsverfahren und Nierenaustausch eingesetzt. Die Zuordnung ist paretoeffizient, da sie stabil ist. Ich fürchte, ich verstehe den Teil Ihrer Frage nach Diskretion nicht.
Giskard
Dieser Teil war sowieso weniger eine Frage als ein Kommentar.
Kitsune Kavallerie
@denesp Eigentlich bin ich mir ziemlich sicher, dass das Top-Trading-Zyklus-Verfahren bei Organspenden angewendet wird.
ml0105
@KitsuneCavalry Zum späteren Nachschlagen: Diese Site ist am besten für eine Frage pro Frage eingerichtet (dh einen Thread pro Frage). Es ist kein Nachteil, 2-3 Fragen zum selben Thema gleichzeitig zu stellen, wenn die Beantwortung einer Frage die anderen nicht überflüssig macht.
FooBar
@ ml0105 Du bist richtig, ich habe die beiden Algorithmen verwechselt.
Giskard

Antworten:

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Wie verändert sich die soziale Wohlfahrt, wenn die beiden Einheiten nicht die gleiche Anzahl von Personen in sich haben, so dass nicht jeder übereinstimmen kann?

Der Algorithmus funktioniert in diesem Fall einwandfrei. Die wichtige Annahme ist immer noch, dass der zugrunde liegende Graph zweiteilig ist (und dass Präferenzen transitiv sind). Wenn wir zulassen, dass Mitglieder eines bestimmten Typs sich gegenseitig Vorschläge machen, verlieren wir die Konvergenz. Angenommen, wir haben drei Spieler:EIN,B.,C.. Wir habenEINVorlieben als (B.,C.,EIN);; B.Vorlieben als (C.,EIN,B.);; undC.Vorlieben als (EIN,B.,C.). DamitEIN schlägt vor B., die akzeptiert. DannB. schlägt vor C., die akzeptiert. Dies ist unübertroffenEIN. Nächster,C. schlägt vor EIN, die akzeptiert. Dies ist unübertroffenB.. Wir wiederholen dann.

Gibt es schnellere Möglichkeiten, Personen miteinander abzugleichen (geringere Laufzeit?)

Gale-Shapley hat eine Laufzeitkomplexität von Θ(n2). In der Graphentheorie werden die meisten zweigliedrigen Matching-Algorithmen verwendetΩ(|E.||V.|)Zeit. Im schlimmsten Fall,|E.|=|V.|2/.4. Ich würde mich also nicht viel besser darauf verlassen.

Darüber hinaus ist dies kein Problem, das sich gut für einen Divide and Conquer-Ansatz eignet. Es ist wirklich ein gieriges Problem. Möglicherweise können Sie die erwartete Laufzeit verringern, indem Sie eine zufällige Reihenfolge für das Vorschlagen auswählen. Die Analyse wäre jedoch involviert.

Es scheint ein sehr seltsames spieltheoretisches Modell zu sein, nur weil es beim Lesen des Beweises für die Gültigkeit des Algorithmus nicht so aussieht, als sei das Problem "diskret". Das heißt, die Optimierung, wer mit wem übereinstimmt, und das Finden eines Pareto-effizienten Ergebnisses können nicht durch Maximierung einer kontinuierlichen Funktion gelöst werden.

Eigentlich ist es ein diskretes Modell. In traditionelleren Bereichen der Wirtschaft haben wir kontinuierliche Variablen. Lineare Programmierung ist also sinnvoll. Wir könnten tatsächlich ein ganzzahlig-lineares Programm für das Problem der stabilen Ehe formulieren, wenn wir es aus einer graphentheoretischen Perspektive betrachten. Übereinstimmende Probleme können in der Sprache der Flüsse formuliert werden. Und wir können Flussprobleme als LPs schreiben. Die Strömungsbeschränkungen bilden ein konvexes Polytop. Wenn der Graph zweiteilig ist, sind die Eckpunkte des Polytops die Übereinstimmungen. Der Trick dabei ist, dass wir zusätzliche Einschränkungen hinzufügen müssen, um sicherzustellen, dass wir die richtige Übereinstimmung erhalten (da die Übereinstimmung mit dem Gale-Shapley-Algorithmus unabhängig von der Reihenfolge, in der die Männer vorschlagen, eindeutig ist).

Selbst wenn wir uns die Mühe machen, das lineare Programm zu formulieren, ist die Lösung einer LP für dieses Problem von Hand oder von einem Computer weniger effizient als die Verwendung des Algorithmus.

(Ist die Gale-Shapley-Zuweisung Pareto als Nebenfrage effizient?)

Das vom Gale-Shapely-Algorithmus erzeugte Matching befindet sich im Kern. Eine Anrechnung, die zum Kern gehört, erfüllt die Eigenschaft, dass keine Koalition ihre ursprünglichen Stiftungen kollidieren und die Ergebnisse ihrer Mitglieder verbessern kann. Eine Imputation ist paretooptimal, wenn keine Gruppe von Agenten ihre Ergebnisse verbessern kann, ohne dass das Ergebnis eines anderen Spielers ungünstiger ist. Die Kernzuweisungen sind also paretooptimal.

Weitere Informationen zu Gale-Shapley finden Sie in meinem Blog: https://michaellevet.wordpress.com/2015/05/22/algorithmic-game-theory-stable-marriage-problem/

ml0105
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Wow, ich wollte irgendwie fragen, warum das Modell diskret wirkte, hoppla. Vielen Dank, dass Sie sich damit befasst haben.
Kitsune Kavallerie