Butterworth-, Bessel-, Chebychev- und Sinc-Tiefpassfilter werden in verschiedenen Fällen verwendet, in denen es unterschiedliche Kompromisse zwischen einem gleichmäßig abnehmenden Frequenzgang, einem gleichmäßigen Phasengang, einem steilen Grenzgang oder einer "Brick-Wall" -Reaktion gibt. Ich glaube, dass alle derartigen Filter in einigen Fällen ein Überschwingen ihrer Sprungantwort haben können, was bedeutet, dass ihre Impulsantwort an einigen Stellen negativ ist.
Was wäre der optimale Frequenzgang oder welche Arten von Frequenzgängen wären in einem Filter verfügbar, dessen einzige Einschränkung darin bestand, dass die Impulsantwort nicht überall negativ sein könnte? Sicher ist es möglich, ein Tiefpassfilter zu haben, das eine solche Einschränkung erfüllt, da ein grundlegendes RC-Filter dies tut (obwohl die Reaktion eines solchen Filters etwas mies ist). Wäre die optimale Impulsantwort eine Normalverteilungskurve oder etwas anderes?
Antworten:
Ich werde eine Liste von "Filtern, die nicht überschwingen". Ich hoffe, Sie finden diese Teilantwort besser als gar keine Antwort. Hoffentlich finden Leute, die nach "einem Filter suchen, der nicht übersteuert", diese Liste solcher Filter hilfreich. Vielleicht funktioniert einer dieser Filter in Ihrer Anwendung auch dann, wenn wir den mathematisch optimalen Filter noch nicht gefunden haben.
LTI-Kausalfilter erster und zweiter Ordnung
Die Sprungantwort eines Filters erster Ordnung ("RC-Filter") überschwingt niemals.
Die Sprungantwort eines Filters zweiter Ordnung ("Biquad") kann so ausgelegt werden, dass sie niemals übersteuert. Es gibt mehrere äquivalente Möglichkeiten, diese Klasse von Filtern zweiter Ordnung zu beschreiben, die bei einer Stufeneingabe nicht übersteuern:
Insbesondere eine Sallen-Key-Filtertopologie mit einer Verstärkung von eins bei gleichen Kondensatoren und gleichen Widerständen wird kritisch gedämpft: Q = 1/2 und überschreitet daher nicht einen Stufeneingang.
Ein Bessel-Filter zweiter Ordnung ist leicht unterdämpft: Q = 1 / sqrt (3), sodass es zu einem leichten Überschwingen kommt.
Ein Butterworth-Filter zweiter Ordnung ist schwächer gedämpft: Q = 1 / sqrt (2), daher tritt mehr Überschwingen auf.
Von allen möglichen LTI-Filtern erster und zweiter Ordnung, die kausal sind und nicht übersteuern, sind die mit dem "besten" (steilsten) Frequenzgang die "kritisch gedämpften" Filter zweiter Ordnung.
LTI-Kausalfilter höherer Ordnung
Das am häufigsten verwendete Kausalfilter höherer Ordnung mit einer Impulsantwort, die niemals negativ ist (und daher bei einem Stufeneingang niemals übersteuert), ist das "Laufender-Durchschnitt-Filter", auch "Boxcar-Filter" oder " Gleitender-Durchschnitt-Filter" genannt ".
Einige Leute lassen gerne Daten durch einen Boxcar-Filter und die Ausgabe von diesem Filter in einen anderen Boxcar-Filter laufen. Nach einigen solchen Filtern ist das Ergebnis eine gute Approximation des Gaußschen Filters. (Je mehr Filter Sie kaskadieren, desto näher kommt die endgültige Ausgabe einem Gaußschen Wert, unabhängig davon, mit welchem Filter Sie beginnen - Boxcar, Dreieck, RC erster Ordnung oder einem anderen -, aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes.)
Praktisch alle Fensterfunktionen haben eine Impulsantwort, die niemals negativ ist, und können daher im Prinzip als FIR-Filter verwendet werden, die bei einem Stufeneingang niemals übersteuern. Insbesondere höre ich gute Dinge über das Lanczos-Fenster , das der zentrale (positive) Lappen der sinc () -Funktion ist (und Null außerhalb dieses Lappens). Einige wenige Impulsformungsfilter haben eine Impulsantwort, die niemals negativ ist, und können daher als Filter verwendet werden, die an einem Stufeneingang niemals übersteuern.
Ich weiß nicht, welcher dieser Filter für Ihre Anwendung am besten geeignet ist, und ich vermute, dass der mathematisch optimale Filter geringfügig besser ist als jeder dieser Filter.
nichtlineare Kausalfilter
Der Medianfilter ist ein beliebter nichtlinearer Filter, der bei einem Step-Function-Eingang niemals übersteuert.
BEARBEITEN: LTI nicht kausale Filter
Die Funktion sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) ist eine eigene Fouriertransformation, und ich nehme an, sie könnte als eine Art nicht-kausaler Tiefpass-LTI-Filter verwendet werden, der auf a niemals übersteuert Stufeneingabe.
Das nicht-kausale LTI-Filter, das die Impulsantwort (sinc (t / k)) ^ 2 hat, hat eine Frequenzantwort "abs (k) * triangle (k * w)". Wenn eine Stufeneingabe gegeben wird, weist sie eine große Welligkeit im Zeitbereich auf, überschreitet jedoch nie den endgültigen Einschwingpunkt. Über der Hochfrequenzecke dieses Dreiecks ergibt sich eine perfekte Sperrunterdrückung (unendliche Dämpfung). Im Sperrbereich hat es einen besseren Frequenzgang als ein Gauß-Filter.
Daher bezweifle ich, dass der Gauß-Filter den "optimalen Frequenzgang" ergibt.
Ich vermute, dass es in der Menge aller möglichen "Filter, die nicht überschwingen", keinen einzigen "optimalen Frequenzgang" gibt - einige haben eine bessere Sperrbereichsunterdrückung, während andere schmalere Übergangsbänder usw. haben.
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Die meisten der in der digitalen Welt verwendeten Filter sind nur eine abgetastete Version des analogen Gegenstücks. Ein wichtiger Grund dafür ist, dass die analoge Filterung vor der Einführung der digitalen viel Arbeit leistete, sodass das Rad nicht neu erfunden wurde, sondern nur frühere Konstruktionen. Der Vorteil gegenüber digital ist jedoch, dass ein Filter höherer Ordnung viel einfacher als in der analogen Welt erzielt werden kann. Stellen Sie sich vor, Sie erhalten jedes Mal eine komplexe Schaltung, wenn Sie dem Entwurf eine weitere Bestellung hinzufügen.
Wenn Sie sich für einen Filter mit Backsteinmauer entscheiden, ist die Gaußsche Kurve ein guter Ausgangspunkt. Wenn Sie Zeitbereich <-> Frequenzbereich kennen; Ein Gaußscher verwandelt sich in einen Gaußschen in der anderen Domäne. Wenn es in einem Wickler wird, wird es in dem anderen schmaler. Um eine perfekte Frequenzspitze zu erzielen, benötigen Sie also unendlich viele Samples.
Wenn Sie Matlab zur Verfügung haben, sollten Sie sich einige der integrierten Filterdesign-Tools ansehen. Hier ist ein Link über Butterworth und Bessel . Mit den Entwurfswerkzeugen können Sie bestimmte Aspekte des Filters angeben. Diese Aspekte ändern sich für jeden Filtertyp, einige Beispiele sind jedoch Durchlassbereich, Sperrbereich, Welligkeit usw. Wenn Sie dem Designer die gewünschten Einschränkungen geben, wird entweder ein Fehler angezeigt (dh der Filter kann nicht mit diesem Filtertyp erstellt werden ) oder Sie erhalten einen Filter mit der Mindestbestellmenge, die erforderlich ist, um die Spezifikation zu erfüllen.
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