Ich kann die allgemeine Formel für den Stromkreis nicht herausfinden

Ich habe das folgende Setup. Beachten Sie, dass das Gerät in der Mitte P sagt, nicht R, also ich jetzt, wie viele Watt das Gerät produziert. (Ich bin nicht sicher, ob ich dort das richtige Symbol gezeichnet habe.) Die
Berechnung des Stroms ergibt eine quadratische Gleichung, die ich lösen kann:

Dies ergibt 2 Werte für I, von denen einer zu negativen Werten führt (richtig?) Und kann verworfen. Wenn ich jetzt ein anderes Gerät hinzufüge (und dann noch eines und noch eines), wird es mir zu kompliziert:

Ich denke, es muss eine allgemeine Formel geben, die ich bei jedem Schritt in das vorherige einstecken kann.
Das ultimative Ziel ist es herauszufinden, wie viele Geräte hinzugefügt werden können, bevor die Spannung zu niedrig wird, unter Berücksichtigung jedes P und der Länge der Drähte (was R1, R2 usw. darstellt). Kann jemand dies herausfinden?

Update:
Wie sich herausstellt, ist das Rückwärtsarbeiten extrem einfach, z. B. die Frage: "Wenn ich ein Minimum von v Volt über dem letzten Gerät benötige , was muss sein?" Es geht nur darum, Spannungen und Ströme hinzuzufügen. Es ist nicht möglich, so vorwärts zu arbeiten, wie ich es mir vorgestellt habe, z. B. die Frage zu stellen: "Wenn = v Volt, wie hoch ist die Spannung am letzten Gerät?" Dies kann mit Iteration erfolgen.$V_0$
$V_0$

Jeder sagt immer wieder, dass der Spannungsabfall von den Drähten keine Rolle spielt, aber es tut es. Bei 25-W-Geräten können abhängig von der Anzahl der angeschlossenen Geräte und der Länge der Drähte (die Hunderte von Metern betragen können) Spannungsabfälle von den Drähten auftreten, die mehr als 10% der Spannungsabfälle von den Geräten ausmachen. 2 oder 3 Volt pro Draht sind in unserer Situation von Bedeutung.
Vielen Dank für Ihre Hilfe, alle!

Dies ist eigentlich ein klassisches Problem bei elektrischen Installationen. Wenn Sie also den Stromverbrauch mehrerer an eine elektrische Leitung angeschlossener Geräte kennen, wie hoch ist der Spannungsabfall im weiteren Gerät? Es wird normalerweise mit einer Näherung gelöst, daher gibt es nicht den genauen Wert, sondern einen engen (und pessimistischen) Wert.

Ich werde das Problem auf eine andere Art und Weise zeichnen, unipolares Diagramm:

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab}

(R1 + R2) stellen den Widerstand der beiden Drähte (L und N) im ersten Abschnitt dar, P1 ist die vom ersten Gerät aufgenommene Leistung usw.

Delta_V ist der Spannungsabfall im letzten Gerät.

Die Annäherung ist, dass der Spannungsabfall gering ist und daher der Strom an jedem Gerät angenähert werden kann durch: wobei die Nennspannung ist (Ihr ). Tatsächlich ist die Spannung etwas kleiner und damit auch der tatsächliche Strom. (Bearbeiten: Dies verdient eine Erklärung: Eine 100-W-Lampe zieht, wenn sie mit weniger Spannung als nominal gespeist wird, weniger Strom als nominal. Wenn es eine "clevere" Lampe wäre, würde sie mehr Strom erhalten, so dass sie die 100 W hält, aber Dies ist bei normalen passiven Geräten nicht der Fall.

Dann ist der Spannungsabfall am Ende der Leitung gegeben durch:

Dies kann für so viele Geräte verallgemeinert werden, wie Sie möchten. Die Idee ist, dass die Ströme aller Geräte durch den ersten Abschnitt gehen ( multipliziert den Widerstand des ersten Abschnitts), im zweiten Abschnitt alle außer dem ersten Gerät usw.$i_1+i_2+i_3$

Der durch diese Formel gefundene Wert ist der schlimmste Fall. Der reale Tropfen wird kleiner sein.

Wenn Sie genau vorgehen möchten, können Sie dieses iterative Verfahren befolgen:

1. Berechnen Sie die Spannungsabfälle an jedem Knoten und nicht nur am letzten (es ist leicht zu verstehen, wie)

2. Schätzen Sie die Ströme an jedem Gerät erneut anhand der Informationen, die durch die im vorherigen Schritt festgestellten Spannungsabfälle bereitgestellt wurden.

3. Fahren Sie erneut mit Schritt 1 fort und wiederholen Sie den Vorgang, bis die Ströme und Spannungsabfälle zusammenlaufen.

Diese Schritte können in Matrizenform geschrieben und über Matlab ausgewertet werden. Ich weiß nicht, ob Mathematica oder Maple auch eine geschlossene Lösung finden könnten!

Ich habe diesen Algorithmus mit den folgenden Werten ausprobiert. P1 = 200 W, P2 = 50 W und P3 = 100 W. Widerstandswerte R1 + R2 = 5 Ohm, R3 + R4 = 5 Ohm und R5 + R6 = 5 Ohm. Die Nennspannung beträgt 230 V. Dies sind die Ergebnisse (jede Spalte ist eine Iteration und jede Zeile ist ein Knoten):

Sie können sehen, dass nach einigen Iterationen die Spannungen und Ströme konvergieren und die an jedem Knoten aufgenommene Leistung den gewünschten Wert hat.

Warum nehmen Sie an, dass ein Widerstand ist? Alles was Sie wissen ist, dass es Strom verbraucht. Was Sie hier haben, sind zwei Unbekannte - der Strom in der Schleife und die Spannung über . Um dieses Problem zu lösen, benötigen Sie zwei Gleichungen - eine KVL-Gleichung für die Schleife und eine Leistungsgleichung für . Angenommen, der Strom fließt im Uhrzeigersinn:$P_3$$P_3$$P_3$

Sie können dies direkt mit einem Computeralgebrasystem wie dem in einem TI-89 oder dem kostenlosen in Wolfram Alpha lösen , oder Sie können Matrixmethoden verwenden oder Sie können Substitution verwenden. Substitution gibt Ihnen die Gleichung, die Sie gefunden haben:

Es gibt zwei mögliche Lösungen, da die zweite Gleichung ein Produkt zweier Variablen ist. Sie erhalten jedoch keine negative Lösung. Ich habe mehrere Zahlen für und ausprobiert und immer positive Lösungen erhalten. Da die Potenzgleichung die Form , denke ich, dass beide Lösungen immer positiv sein werden. (Dies ist im Ergebnis des Wolfram Alpha-Diagramms offensichtlicher.) Physikalisch bedeutet dies, dass Sie KVL und Energieeinsparung sowohl mit einer Hochspannungs- / Niedrigstrom- als auch mit einer Niederspannungs- / Hochstromlösung einhalten können. Wenn Sie genau die richtigen Werte für , , und auswählen, können Sie eine einzige Lösung erhalten, aber das ist ein Zufall, keine Methode.$V_0$$P_3$$y = \frac{1}{x}$$V_0$$R_1$$R_2$$P_3$

Sie benötigen eine zusätzliche Einschränkung, um zu einer Lösung zu gelangen. Ich sehe keine physisch notwendige, obwohl mir möglicherweise etwas fehlt. Eine Wahl wäre zu sagen, dass größer sein muss als die von den Widerständen verbrauchte Leistung - dh dass diese Schaltung effizient ist . Ihre Beschreibung des Problems deutet darauf hin, dass möglicherweise eine Mindestspannung erforderlich ist, die ebenfalls funktionieren könnte.$P_3$

Sobald Sie das Problem für eine einzelne Leistungssenke gelöst haben, können Sie mit zwei fortfahren. Jetzt können Sie die Netzanalyse verwenden, die vier Gleichungen und vier Unbekannte ergibt. Wie Sie bemerkt haben, ist dies für eine allgemeine Lösung zu kompliziert. Dies scheint ein Zwei-Port-Netzwerkproblem zu sein, aber ich kenne nicht genug Zwei-Port-Netzwerktheorie, um Ihnen dort zu helfen.

Sie können eine ungefähre Obergrenze erhalten, indem Sie sich die endgültige Strombegrenzung ansehen:

Sind Sie sicher, dass Sie uns alle Informationen gegeben haben? Es scheint, dass etwas Wichtiges fehlt.

Ich sage nicht, dass ich Ihnen eine Antwort geben kann, aber ich kann die Dinge ein bisschen vereinfachen: -

Rufen Sie zunächst die beiden Serien-Festwertwiderstände nur einen Widerstand R auf. Dies reduziert die scheinbare Komplexität ohne Genauigkeitsverlust. Nennen Sie den Widerstand der konstanten Stromquelle Rp

$I = \dfrac{V_I}{R+R_P}$ dann die Verlustleistung ein, k = oder .$\dfrac{V_O^2}{R_P}$$R_P = \dfrac{V_O^2}{k}$

Stecken Sie die Gleichung wieder ein und multiplizieren Sie oben und unten mit k, um$I = \dfrac{k\cdot V_I}{k\cdot R + V_O^2}$

Unter dass und Neuanordnung: -$k = V_O \cdot I$

$V_O\cdot I^2\cdot R+ I\cdot V_O^2 = V_I\cdot V_O\cdot I$ dividiere dann durch I, um$V_O\cdot I\cdot R+ V_O^2 = V_I\cdot V_O$

Ersetzen Sie erneut k, um Folgendes zu erhalten: -

$k\cdot R+ V_O^2 = V_I\cdot V_O$ und löse dann nach Vo: -

$V_O = \dfrac{V_I \pm \sqrt{V_I^2-4\cdot k\cdot R}}{2}$

Eine schnelle Überprüfung der geistigen Gesundheit, wenn k Null ist, führt zu:

$V_O = \dfrac{V_I \pm \sqrt{V_I^2}}{2}$ und das sieht für mich richtig aus (Vo = Vi).

Ich denke, dies ist eine einfachere Formel, um voranzukommen (ich hoffe, ich habe die Mathematik richtig verstanden!)

Als nächstes habe ich das Gefühl, dass die Verwendung von Matrizen ala 2-Port-Netzwerken hilft. Nach ein paar Semestern wird es immer noch ein bisschen verrückt, also kann hoffentlich jemand einen Trick entdecken.

Ich frage mich, ob die Formel für den Goldenen Schnitt funktionieren könnte.

Es gibt eine allgemeine Formel, die sich in die vorherige "einsteckt", aber aufgrund der Einrichtung Ihrer Schaltung wird sie nicht auf "nette" Weise eingesteckt.

Erstens verstehe ich nicht wirklich, was Sie mit der von Ihnen angegebenen Formel für R3 sagen wollen. Dies gilt auch für die anderen Widerstände in Ihrem Schaltplan, weil:

R = U / I
and
P = U * I or U = P / I
together
R = P / I²

Sie sagen auch, dass es "Watt produziert", was ein bisschen seltsam ist. Was ich denke, dass Sie haben, ist so etwas wie eine Glühbirne mit einer bestimmten Leistung in Watt. Diese Bewertung bedeutet nicht, dass sie so viele Watt "produziert", sondern lediglich, wie viel Strom dieses Gerät verbraucht. Geräte benötigen eine bestimmte Spannung, um zu arbeiten: 24 V, 12 V, 230 V oder 120 V. Die Wattzahl sagt Ihnen diese Zahl nicht. Es ist eine zusätzliche Information. Auf dem Gerät sollte ein Etikett mit der Spannung angegeben sein.

Seltsamerweise präsentieren Sie eine Formel, die einen Strom berechnet.

So kommen Sie zur Formel: Mit nur einem Gerät haben Sie einen einfachen Spannungsteiler.

V3 / V0 = R3 / (R1 + R2)
or
V3 = R3 / (R1 + R2) * V0

Denken Sie daran, dass R1 + R2 sehr klein sind, sodass die Spannung V3 nicht so stark von V0 abweicht. R1 und R2 sind wahrscheinlich vernachlässigbar.

Ich benutze den Paralleloperator || um die Dinge kurz zu halten:

a||b = a * b / (a + b)

Fügen Sie nun das zweite Gerät hinzu. Der Spannungsteiler ändert sich, Sie fügen der Schaltung 3 zusätzliche Widerstände hinzu: R4, R5 und R6. Insbesondere fügen Sie sie parallel zu R3 hinzu. Grundsätzlich fügen Sie die 3 Widerstände immer parallel zum zweiten Widerstand der zuvor hinzugefügten Widerstände hinzu.

Hier wird das nächste Gerät "eingesteckt":

V3 = R3 || (R4 + R5 + R6) / (R1 + R2) * V0

Das Interessante ist, wie Sie V6 jetzt einfach berechnen können. Wenn Sie sich jetzt V3 als die zugeführte Spannung vorstellen, verhält sich die Schaltung des zweiten Geräts in Bezug auf V3 wie die erste (anstelle von V0).

V6 / V3 = R6 / (R4 + R5)
or
V6 = R6 / (R4 + R5) * V3
or, inserting the formula for V3 from above:
V6 = R6 / (R4 + R5) * R3 || (R4 + R5 + R6) / (R1 + R2) * V0

Diese Formeln mischen sowohl serielle als auch parallele Schaltungen, die ineinander verschachtelt sind. Dies macht es schwierig, eine geschlossene Formel für beliebig viele Geräte bereitzustellen.

Lassen Sie uns zur Veranschaulichung die obigen Formeln betrachten und sehen, wie sich ein drittes Gerät erweitert:

Das dritte Gerät fügt parallel zu R6 wieder 3 Widerstände hinzu. Dies ändert V3 wie folgt:

V3 = R3 || (R4 + R5 + (R6 || (R7 + R8 + R9) ) / (R1 + R2) * V0

was wiederum V6 ändert zu:

V6 = R6 / (R4 + R5) * R3 || (R4 + R5 + (R6 || (R7 + R8 + R9) ) / (R1 + R2) * V0

Die Spannung des neuen Geräts gegenüber dem vorherigen ist wieder ein einfacher Spannungsteiler:

V9 / V6 = R9 / (R7 + R8)
or
V9 = R9 / (R7 + R8) * V6

Ich hoffe, Sie sehen das Muster, nach dem Sie gefragt haben.

Und jetzt zu etwas ganz anderem: dem wirklichen Leben

Drähte haben einen sehr geringen Widerstand. Vernachlässigbar niedrig. Durch die Kabel fällt die Spannung an Ihren Geräten nicht zu niedrig ab. Sie können wahrscheinlich davon ausgehen, dass die Spannung ziemlich gleich ist.

Ihre Frage ist, was die Anzahl der Geräte begrenzt, die Sie miteinander verketten können. Die Antwort ist die Stromversorgung . Jedes Gerät, das Sie hinzufügen, erhöht den Strom, der aus der Versorgung entnommen wird, und kann nur eine bestimmte Menge liefern.

Die Mathematik ist hier sehr einfach: Sie können nicht mehr Watt als Ihre Vorräte verbrauchen. Fassen Sie alle Watt auf Ihren Geräten zusammen und prüfen Sie, ob Ihr Netzteil so viel liefern kann (wenn es mehr leistet, kein Problem). Daran führt kein Weg vorbei.