Wie verwende ich die Überlagerung, um eine Schaltung zu lösen?

Ja, das ist eine pädagogische Frage. Bei der Beantwortung einer anderen kürzlich gestellten Frage wollte ich das OP auf prägnante Anweisungen zur Verwendung der Überlagerung zum Lösen von Schaltkreisen verweisen. Ich stellte fest, dass alle leicht zu findenden Online-Ressourcen etwas mangelhaft waren. Typischerweise waren sie unklar darüber, für welche Arten von Schaltungsüberlagerungen gilt, oder über die tatsächliche Methode, um den Überlagerungssatz auf ein Schaltungsproblem anzuwenden. So,

Welche Arten von Schaltkreisen können durch Überlagerung gelöst werden?

Wie werden verschiedene Arten von Quellen beim Lösen durch Überlagerung behandelt?

Was sind die Schritte, um eine Schaltung unter Verwendung des Überlagerungssatzes zu lösen?

circuit-analysis Das Photon
quelle

Wie wäre es mit einer Community-Wiki-Antwort, damit sie für diesen Zweck optimiert werden kann?

Höhlenmensch

Antworten:

Überlagerungssatz
" Der Überlagerungssatz für elektrische Schaltungen besagt, dass für ein lineares System die Antwort (Spannung oder Strom) in einem Zweig eines bilateralen linearen Schaltkreises mit mehr als einer unabhängigen Quelle gleich der algebraischen Summe der Antworten ist, die von jeder unabhängigen Quelle verursacht werden, die alleine wirkt , wo alle anderen unabhängigen Quellen durch ihre internen Impedanzen ersetzt werden . "

Welche Arten von Schaltkreisen können durch Überlagerung gelöst werden?

Schaltungen, die aus einer der folgenden Komponenten bestehen, können unter Verwendung des Überlagerungssatzes gelöst werden

Unabhängige Quellen
Lineare passive Elemente - Widerstand, Kondensator und Induktor
Transformator
Linear abhängige Quellen

Was sind die Schritte, um eine Schaltung unter Verwendung des Überlagerungssatzes zu lösen?

Folgen Sie dem Algorithmus:

Antwort = 0;
Wählen Sie die erste unabhängige Quelle aus.
Ersetzen Sie alle unabhängigen Quellen im Originalstromkreis mit Ausnahme der ausgewählten Quelle durch ihre interne Impedanz.
Berechnen Sie die interessierende Menge (Spannung oder Strom) und fügen Sie sie zur Antwort hinzu.
Beenden Sie, wenn dies die letzte unabhängige Quelle war. Andernfalls fahren Sie mit Schritt 3 fort, indem Sie die nächste Quelle auswählen.

Die interne Impedanz einer Spannungsquelle ist Null und die einer Stromquelle ist unendlich. Ersetzen Sie daher die Spannungsquelle durch einen Kurzschluss und die Stromquelle durch einen offenen Stromkreis, während Sie Schritt 3 im obigen Algorithmus ausführen.

Wie werden verschiedene Arten von Quellen beim Lösen durch Überlagerung behandelt?

Die unabhängigen Quellen sind wie oben erläutert zu behandeln.

Berühren Sie abhängige Quellen nicht.

Nidhin
quelle

Die Überlagerung gilt nur, wenn Sie ein rein lineares System haben, dh:

\begin{aligned} F (x_{1} + x_{2}) & = F (x_{1}) + F (x_{2}) \\ F (a x) & = a F (x) \end{aligned}

$\begin{align*} F(x_1 + x_2) &= F(x_1) + F(x_2)\\ F(a x) &= a F(x) \end{align*}$

Im Rahmen der Schaltungsanalyse muss die Schaltung aus linearen Elementen (Kondensatoren, Induktivitäten, Lineartransformatoren und Widerständen) mit N unabhängigen Quellen bestehen. Sie müssen entweder Spannungen oder Ströme suchen. Beachten Sie, dass Sie eine überlagerte Lösung für Spannung / Strom verwenden können, um andere Größen zu finden, die nicht linear sind (z. B. Verlustleistung in einem Widerstand), aber nichtlineare Größen nicht überlagern (hinzufügen) können, um die Lösung für eine größere zu finden System.

$i$

\begin{aligned} U = J R = R (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) = \sum_{i = 1}^{N} R J_{i} = \sum_{i = 1}^{N} U_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} U = J R = R \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) = \sum_{i=1}^N R J_i = \sum_{i=1}^N U_i \end{align*}$

So kann ich die Spannung an einem Widerstand ermitteln, indem ich den Strombeitrag jeder Quelle unabhängig von einer anderen Quelle aufsummiere. So finden Sie den durch den Widerstand fließenden Strom:

\begin{aligned} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i = 1}^{N} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{U_{i}}{R} = \sum_{i = 1}^{N} J_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i=1}^N U_i = \sum_{i=1}^N \frac{U_i}{R} = \sum_{i=1}^N J_i \end{align*}$

Wenn ich mich jedoch mit Macht beschäftige, gilt die Überlagerung nicht mehr:

\begin{aligned} P = J U = (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) (\sum_{j = 1}^{N} U_{j}) \neq \sum_{i = 1}^{N} J_{i} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} P_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} P = J U = \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) \left(\sum_{j=1}^N U_j\right) \neq \sum_{i=1}^N J_i U_i = \sum_{i=1}^N P_i \end{align*}$

Der allgemeine Prozess zum Lösen einer Schaltung unter Verwendung von Überlagerung ist:

$i$ $F_i$
$F_i$

Beispiel 1

Nehmen Sie diese Schaltung mit zwei Quellen:

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schema erstellt mit CircuitLab}

Ich möchte nach dem Strom J suchen, der durch R1 fließt.

Wählen Sie V1 als Quelle 1 und I1 als Quelle 2.

$J_1$

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung}

$J_1 = 0$

$J_2$

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung}

$J_2 = I_1$

\begin{aligned} J = J_{1} + J_{2} = 0 + I_{1} = I_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \end{align*}$

Beispiel 2

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung}

$J$

\begin{aligned} J_{1} & = - \frac{V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J_{2} & = \frac{V_{2}}{R_{2} + R_{1} + R_{4} + R_{5}} \\ J_{3} & = - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{4} + R_{2} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_1 &= -\frac{V_1}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J_2 &= \frac{V_2}{R_2 + R_1 + R_4 + R_5}\\ J_3 &= -I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \end{align*}$

\begin{aligned} J & = J_{1} + J_{2} + J_{3} = \frac{V_{2} - V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J &= J_1 + J_2 + J_3 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} - I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

Die Kraft der Überlagerung ergibt sich aus der Frage "Was ist, wenn ich eine Quelle hinzufügen / entfernen möchte?" Angenommen, ich möchte eine aktuelle Quelle I2 hinzufügen:

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung}

\begin{aligned} J_{4} & = I_{2} \frac{R_{1} + R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J & = \sum_{i = 1}^{4} J_{i} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5}) + I_{2} (R_{1} + R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_4 &= I_2 \frac{R_1 + R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J &= \sum_{i=1}^4 J_i = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

helloworld922
quelle

Ich habe ein paar Kommentare, von denen ich hoffe, dass sie nützlich sind: 1. Ich finde die Verwendung von U und J etwas verwirrend, V und ich sind besser; 2. Die erste Gleichung für U sollte keine Summation sein, da sie nur für die i-te Quelle gilt. 3. Die anderen Summierungen sollten meines Erachtens von i = 1 bis N genommen werden, nicht von i bis N; 4. Die Überlagerung in der Schaltungstheorie wird nur für Strom und Spannung verwendet, daher würde ich die Diskussion über Leistung später im Text verschieben. 5. Sollte im folgenden Beispiel nach dem einfachen von I1 und R1 nicht J3 = -I1 (...) sein, da I1 entgegengesetzt zu J3 wirkt?

Chu

I_{3} = I_{1} \cdot (blah)

$I_3 = I_1 \cdot (\textrm{blah})$