Verwirrt von der Nyquist-Frequenz

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Angenommen, ich habe einen 1-kHz-Sinus, also keine höheren Harmonischen, dann muss ich ihn mindestens bei 2 kHz abtasten, um ihn rekonstruieren zu können.
Wenn ich aber mit 2 kHz abtaste, aber alle meine Abtastwerte auf dem Nulldurchgang liegen, zeigt mein abgetastetes Signal überhaupt keinen Sinus, sondern das EKG eines verstorbenen Patienten. Wie ist das zu erklären?

Dies kann auch auf höhere Abtastfrequenzen erweitert werden. Wenn ich eine komplexere Wellenform mit 10 kHz abtaste, sollte ich mindestens die ersten 5 Harmonischen erhalten, aber wenn die Wellenform so ist, dass die Abtastwerte jedes Mal Null sind, erhalten wir wiederum nichts. Dies ist nicht weit hergeholt, es ist durchaus möglich für eine Rechteckwelle mit einem Tastverhältnis <10%.

Warum scheint das Nyquist-Shannon-Kriterium hier ungültig zu sein?

Federico Russo
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Das Nyquist-Kriterium ist ein Minimum. Andere Probleme, wie z. B. Aliasing, erfordern möglicherweise ein höheres Sampling oder andere Gegenmaßnahmen.
drxzcl
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Federico Russo
@FedericoRusso Sie haben eine Tendenz, gute Fragen zu stellen
m.Alin
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Kurz gesagt: In Ihrem Beispiel wird durch Abtasten eines 1-kHz-Sinus bei 2 kHz das Signal auf das eines 0-Hz-Sinus aliasiert, was zum Tod des Patienten führt!
Phil

Antworten:

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Sie benötigen tatsächlich etwas mehr als 2 kHz Abtastrate, um 1 kHz Sinuswellen richtig abzutasten. Es ist nicht f Nf S / 2

fN<fS/2
fNfS/2

PS Wenn Sie Ihr Signal in einen komplexen Raum mit einer Sinusform von wobei t Zeit ist, A Amplitude ist, f Frequenz ist und θ Phasenversatz ist, f N

v(t)=Aej(2πftθ)=A(cos(2πftθ)+jsin(2πftθ))
ist der Punkt, an dem die Frequenz "umklappt", dh man kannf nichtvon-f unterscheiden. Bei weiteren Frequenzerhöhungen wird nach der Abtastung die Abtastfrequenz bei einer reinen Sinuskurve von ihnen subtrahiert.
fN=fS/2

Nicht-Sinusoiden

Für den Fall einer Rechteckwelle bei 1 kHz mit einem Tastverhältnis von 10% oder weniger, die bei 10 kHz abgetastet wird, wird der Eingang falsch verstanden.

Zuerst müssten Sie Ihre Wellenform in eine Fourier-Reihe zerlegen, um herauszufinden, wie hoch die Amplituden der Oberschwingungen der Komponenten sind. Sie werden wahrscheinlich überrascht sein, dass die Oberwellen für dieses Signal nach 5 kHz ziemlich groß sind! (Die Faustregel, dass die dritte Harmonische 1/3 so stark ist wie die Grundwelle und die fünfte 1/5 der Grundwelle, gilt nur für Rechteckwellen mit einem Tastverhältnis von 50% .)

Als Faustregel für ein Kommunikationssignal gilt, dass Ihre komplexe Bandbreite der Umkehrung der Zeit Ihres kleinsten Impulses entspricht. In diesem Fall wird also ein Bandbreitenminimum von 10 kHz (-5 kHz bis 5 kHz) für angestrebt ein Tastverhältnis von 10% mit der Grundschwingung bei 1 kHz (dh 10 kbps).

Was Sie also ruinieren wird, ist, dass diese starken Oberschwingungen höherer Ordnung sich überlagern und (konstruktiv oder destruktiv) Ihre In-Band-Oberschwingungen stören. Daher ist zu erwarten, dass Sie möglicherweise keine gute Abtastung erhalten, da sich so viele Informationen außerhalb des Nyquist befinden Band.

Mike DeSimone
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Dies erklärt jedoch nicht das zweite Beispiel, bei dem die Abtastfrequenz das 10-fache der Groung-Frequenz beträgt
Federico Russo,
Ja, das habe ich verpasst. Zu meiner Antwort hinzugefügt. Unterhaltsame Überlegungen: Kabel der Kategorie 5e, die Gigabit-Ethernet-Daten transportieren können, haben eine festgelegte Bandbreite von 100 MHz. Kat. 6 geht auf 250 MHz und Kat. 7 geht auf 750 MHz.
Mike DeSimone
Das würde also bedeuten, dass für das gepulste Signal Amplitude und Phase für jede Harmonische eine Abbildung auf eine gespiegelte Harmonische mit genau der gleichen Phase, aber invertierter Amplitude vorliegt?
Federico Russo
@ Federico: "umklappen" bedeutet in diesem Fall um die Nyquist-Frequenz gespiegelt. Wenn Sie also mit 10 kHz abtasten und versuchen, einen 11-kHz-Sinus abzutasten, erhalten Sie stattdessen eine 9-kHz-Ausgabe. Versuchen Sie, 13 kHz abzutasten, und Sie erhalten stattdessen 7 kHz.
Endolith
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Als letztes Beispiel sehen Sie sich die Autos im Fernsehen an: Wenn sich die Rotationsgeschwindigkeit einem Vielfachen der Bildfrequenz nähert, scheint sich das Rad zu verlangsamen, bis es stillsteht, und beginnt sich dann im entgegengesetzten Sinne zu drehen.
Clabacchio
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FS+fFSf
FS/2

Bildbeschreibung hier eingeben

FS/2FS/2
FS

Bildbeschreibung hier eingeben

FS/2

FSFS/2

Stevenvh
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+1 für die Bilder. Machen Sie es viel klarer.
Federico Russo
Yay Bilder! Ich sollte diese öfter benutzen, aber ich habe zu viel Spaß mit ASCII-Kunst. Wie auch immer, all diese Überlappungen in Abbildung 2 könnten verwendet werden, wenn die tatsächlich verwendeten Frequenzen vollständig innerhalb des nicht überlappenden Teils liegen. Dies ist jedoch außerhalb der Sigma-Delta-Modulation nicht üblich.
Mike DeSimone
In einigen Fällen kann es in Ordnung sein, das Sampling-Material, das über Fs / 2 liegt, durchzulassen, wenn man nach dem Sampling etwas entfernt, das bei den Alias-Frequenzen liegt. Wenn man beispielsweise mit abgetastetem Audio bei 8.000 Hz enden möchte, aber keine Daten unterhalb von 3.500 herausfiltert, kann es schwierig sein, mit analogen Schaltungen einen so scharfen Filter zu erstellen. Wenn man dagegen mit 16.000 Hz anfängt und Sachen über 4.000 Hz digital herausfiltert, braucht man nur einen analogen Filter, der Sachen über 12 kHz abschwächt und Sachen unter 4 kHz hält. Jeder Wert zwischen 4 und 12 kHz entspricht 4 bis 8 kHz.
Supercat
@supercat - Ihr Anti-Alias-Filter sollte immer analog sein. Ich stimme Ihrem Standpunkt zum analogen Filter zu, aber die von Ihnen verwendeten Zahlen sind falsch. 4-12kHz ist ein Alias ​​für 4-12kHz und nicht für 8kHz. (Sie können dies leicht sehen, wenn Sie die Bandbreiten überprüfen, die gleich sein sollten.)
Stevenvh
@stevenvh: Typischerweise wird das Ergebnis der Abtastung nur in Bezug auf die Frequenzen bei Nyquist oder darunter beschrieben, obwohl jede Frequenz unter Nyquist auf eine zwischen Nyquist und der Abtastrate abgeglichen wird. Mein Punkt ist, dass, wenn man plant, etwas über 4 kHz digital zu filtern, man sich keine Sorgen machen muss, dass Frequenzen zwischen 8 kHz und 12 kHz in den Bereich von 4 kHz bis 8 kHz zurückgefiltert werden; da werden sie sowieso herausgefiltert. Man braucht fast immer eine Art analoges Anti-Aliasing-Filter, aber in vielen Fällen kann ein Überabtasten die Anforderungen erheblich erleichtern. Es ist ...
Superkatze
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Theorem ist in Ordnung. Ihr Signal sollte KEINE Frequenzen enthalten, die gleich oder höher als die Hälfte der Abtastrate gemäß Nyquist sind. Shannon lässt es wahrscheinlich zu, aber es ist seine Version des Satzes, die wahrscheinlich bei kritischer Frequenz zu Mehrdeutigkeiten führt.

Bearbeiten (Re: Downvoting für kurze Antwort?): Ich sehe keine Notwendigkeit, die Stichprobenmethode selbst zu erklären. Die Frage ist, ob Verwirrung vorliegt, "ob kritische Frequenz im Band enthalten ist oder nicht", und ob der Satz von Shannon einen Fehler enthält. Das tut es tatsächlich (wie ich es im Welt-Wiki sehe). Oder höchstwahrscheinlich haben die Wiki-Autoren sein Wort ungenau zitiert. Übrigens gibt es im 20. Jahrhundert 4 unabhängige Autoren dieses Satzes, so dass die Verwirrung darüber, wer die Idee aus zufälligen Quellen lernt, noch schlimmer werden kann.


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Wenn Ihr Sampling-Eingang keinen Tiefpassfilter hat, sollte nichts herausgefiltert werden. Alle Harmonischen sollten sich umklappen und sich möglicherweise gegenseitig stören. Einige moderne Radios verwenden die Nyquist-Frequenzfaltung als Bandverschiebung, indem sie einen Breitband-Eingangs-ADC mit einem Bandpassfilter am vorderen Ende verwenden.
Mike DeSimone
@ Mike DeSimone: Vielen Dank, dass Sie den Aliasing-Effekt erklärt haben, aber auch hier geht es nicht um "Bandende", nicht um "In-Band" oder "Out-of-Band" -Rekonstruktion.
0

NHz12N1N

f=12t

ft

Aber laut Wikipedia:

Im Wesentlichen zeigt der Satz, dass ein bandbegrenztes analoges Signal, das abgetastet wurde, perfekt aus einer unendlichen Folge von Abtastwerten rekonstruiert werden kann, wenn die Abtastrate 2B Abtastwerte pro Sekunde überschreitet, wobei B die höchste Frequenz im ursprünglichen Signal ist.

Eine Abtastfrequenz von der doppelten Frequenz ist also falsch - sie sollte etwas über der doppelten Frequenz liegen. Auf diese Weise erfassen aufeinanderfolgende Samples leicht unterschiedliche Teile der Wellenform.

Majenko
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Wie ich auch zu Mike sagte: Das erklärt das zweite Beispiel nicht, bei dem die Abtastfrequenz das 10-fache der Groung-Frequenz beträgt
Federico Russo,
Eine Rechteckwelle weist einige unglaublich hohe Harmonische auf. Nyquist gibt an, dass es für etwas mehr als 2x die höchste Frequenz ist. Die höchste Frequenz kann hunderte, wenn nicht tausende Male höher sein als ein Tastverhältnis von 50%.
Majenko
Dies gilt auch für ein kontinuierliches Signal - eine PWM-Rechteckwelle mit 10% Einschaltdauer ist nicht kontinuierlich. Eine PWM von 50% kann als kontinuierliches Signal für die niedrigste Frequenz (das Tastverhältnis) bezeichnet werden, nicht jedoch für die höheren Frequenzen.
Majenko
@Matt - nach Fourier ist jedes Signal für die niedrigste Frequenz gleichförmig, da alle zusammensetzenden Frequenzen Sinus sind. Es ist auch perfekt möglich, Federicos Puls kontinuierlich zu machen und dennoch das gleiche Ergebnis zu erzielen.
stevenvh
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Wenn mit einer bestimmten Rate F abgetastet wird, erzeugt jede Frequenzkomponente f Aliase der Form kF + f und kF - f für alle ganzzahligen Werte von k. Im allgemeinen Gebrauch gibt es keine Frequenzkomponenten oberhalb von F / 2, wenn das Signal abgetastet wird, so dass die einzigen Komponenten im Bereich von 0 bis F / 2 diejenigen sind, die im ursprünglichen Signal vorhanden waren. Nach der Abtastung werden Signalkomponenten oberhalb von F / 2 (als Aliase der folgenden generiert) angezeigt. Die störendste davon für irgendeine Frequenz f im ursprünglichen Signal ist die mit der Frequenz F- f .

Beachten Sie, dass als Frequenz fNähert sich F / 2 von unten, nähert sich die erste Alias-Frequenz F / 2 von oben. Wenn der Eingang ein Signal mit der Frequenz F / 2-0,01Hz enthält, liegt ein Alias ​​mit der Frequenz F / 2 + 0,01Hz - nur 0,02Hz darüber. Die Trennung von Original- und Alias-Signalen ist theoretisch möglich, in der Praxis jedoch schwierig. Die abgetastete Wellenform wird als Summe von zwei Wellen gleicher Stärke mit nahezu gleicher Frequenz angezeigt. Als solches scheint sich seine Amplitude mit der relativen Phase der höherfrequenten Wellen zu ändern. In dem Fall, in dem die Eingangsfrequenz genau F / 2 ist, ist die Aliasfrequenz auch genau F / 2. Da es überhaupt keine Frequenztrennung zwischen dem Original und dem Alias ​​gibt, ist eine Trennung unmöglich. Die Phasenbeziehung zwischen dem Original- und dem Alias-Signal bestimmt die Amplitude des resultierenden Signals.

Superkatze
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