Beweis, dass jede Schaltung mit Dioden genau eine Lösung hat

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Stellen Sie sich eine elektronische Schaltung vor, die aus linearen Komponenten und einer Reihe idealer Dioden besteht. Mit "ideal" meine ich, dass sie entweder vorwärts vorgespannt sein können (dh und ) oder rückwärts vorgespannt sein können (dh und ).i D ≥ 0 v D ≤ 0 i D = 0vD=0iD≥0vD≤0iD=0

Diese Schaltungen können durch willkürliche erklären jede Diode entweder vorwärts vorgespannt bzw. in Sperrichtung vorgespannt, und die Einstellung berechnet werden für jede Diode in Durchlaßrichtung vorgespannt und für alle in Sperrichtung vorgespannte Diode. Nachdem die resultierende lineare Schaltung berechnet wurde, müssen wir prüfen, ob bei jeder in Vorwärtsrichtung vorgespannten Diode und bei jeder in Rückwärtsrichtung vorgespannten Diode erfüllt ist. Wenn ja, ist das unsere Lösung. Wenn nicht, müssen wir eine andere Auswahl für die Dioden versuchen. Für Dioden können wir also die Schaltung berechnen, indem wir höchstens lineare Schaltungen berechnen (normalerweise viel weniger).i D = 0 i D ≥ 0 v D ≤ 0 N 2 N.vD=0iD=0iD≥0vD≤0N2N

Warum funktioniert das? Mit anderen Worten, warum gibt es immer eine Wahl, die zu einer gültigen Lösung führt, und (interessanter), warum gibt es nie zwei Möglichkeiten, die beide zu gültigen Lösungen führen?

Es sollte möglich sein, dies auf der gleichen Strenge zu beweisen, mit der beispielsweise Thevenins Theorem in Lehrbüchern bewiesen wird.

Ein Link zu einem Beweis in der Literatur wäre auch eine akzeptable Antwort.

circuit-analysis diodes Stefan
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Weil sich eine physikalische Schaltung jeweils nur in einem Zustand befinden kann. Es ist keine Quantenmechanik ...
Eugene Sh.
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@EugeneSh.: Das stimmt, aber das fragt das OP nicht. Einige Schaltungen können sich unter identischen äußeren Bedingungen in einem von mehreren verschiedenen Zuständen befinden. Die Frage ist zu beweisen, dass es nur einen solchen Zustand für die Klasse von Schaltungen gibt, die das OP beschreibt.
Dave Tweed
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@Eugene Sh.: ZB ein Flip-Flop (oder eine bistabile Schaltung) ist ein Gegenbeispiel einer Schaltung, die mehr als eine Lösung hat. Wenn keine "gleiche Anfangsbedingung" angegeben ist, müssen Sie alle Bedingungen annehmen und prüfen , welche stabilen Lösungen verfügbar sind. Dann stellen Sie fest, dass einige Schaltkreise unabhängig von den Anfangsbedingungen (z. B. lineare Schaltkreise) nur einen haben und andere mehr als einen .
Curd
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@ EugeneSh. Hier soll bewiesen werden, dass das stationäre Verhalten der Diodenschaltung nicht von den Anfangsbedingungen abhängt, es gibt nur eine stabile Lösung. Im Gegensatz zu einem Flip-Flop, das mehrere stabile Lösungen hat und als Speicherelement verwendet werden kann (die "Anfangsbedingungen" sind ein Speicherschreibvorgang).
Evan
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@ EugeneSh. Der Punkt ist nicht, dass eine nichtlineare Schaltung unter den Anfangsbedingungen in einem genau definierten Zustand sein kann, sondern genau das Gegenteil. Der Satz, auf den sich das OP bezieht, garantiert, dass es unabhängig von den Anfangsbedingungen nur eine Lösung gibt , was für eine nichtlineare Schaltung eher eigenartig ist.
Lorenzo Donati - Codidact.org

Antworten:

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Ich gehe davon aus, dass dies für ein erfundenes Problem ist, bei dem es eine Schaltung mit bekannten Passiven und einigen I- und V-Werten gibt und Punkte für Dioden unbekannter Richtung markiert sind. Meine Antwort lautet:

Hoffentlich haben sich die Urheber der Probleme auf Fälle beschränkt, in denen ihre Annahmen zu ihren Schlussfolgerungen führen.

Es könnte theoretisch unlösbar sein, wenn eine Diode fremd ist; Ziehen Sie in Betracht, beide Seiten einer Diode zu erden. Es kann nicht triviale Fälle geben, in denen virtuelle Erdungen oder andere gleiche Spannungen verwendet werden, die schwer zu erkennen sind.

Es könnte sicherlich gültige Schaltungen geben, die sich nur durch die Richtung einer Diode für jeden Wert einer "gültigen Schaltung" unterscheiden, die Dioden enthält. Überlegen Sie, ob Sie Schalter anhand dieser idealen Diodenregeln modellieren möchten. Wie können Sie entscheiden, ob ein Schalter ein- oder ausgeschaltet werden soll? Hoffentlich geben die angegebenen Ströme und Spannungen genügend Hinweise. Und hoffentlich haben sie dir keine widersprüchlichen Hinweise gegeben.

Dies verschiebt die Frage zu "Wie können Sie feststellen, ob eine Instanz über genügend Informationen verfügt, um eindeutig zu sein?" Ich erinnere mich, dass die Antwort so etwas wie eine unabhängige Antwort für jedes unabhängige Unbekannte ist, aber ich bin sicher, ich konnte das nicht beweisen oder einen allgemeinen Test für die Unabhängigkeit von beiden erstellen.


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Für ideale Dioden kann es mehrere Lösungen geben.

Triviales Gegenbeispiel: Nehmen Sie eine Schaltung mit idealen Dioden, die Sie gelöst haben. Ersetzen Sie nun eine der idealen Dioden durch ein Paar Dioden, die in Vorwärtsrichtung geschaltet sind, oder, wenn sie in Vorwärtsrichtung vorgespannt sind, durch ein Paar in Reihe, wobei die Ausrichtung in beiden Fällen beibehalten wird. Wie lösen Sie die Verteilung von Strom oder Spannung zwischen beiden? Sie können nicht, das ideale Diodenmodell führt zu einer konvexen Hülle gleichwertiger Lösungen.

Ben Voigt
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Sie strecken hier wirklich die Definition von "Schaltung". Zwei in Reihe vorgespannte ideale Dioden in Reihe erzeugen einen isoierten Knoten zwischen ihnen, und zwei in Vorwärtsrichtung vorgespannte ideale Dioden erzeugen parallel eine isolierte Schleife. Dies ist im Kontext der Frage nicht sinnvoll.
Dave Tweed
@ DaveTweed: Wie ist die Schaltung nach der Modifikation weniger eine Schaltung als vor der Änderung?
Ben Voigt
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Es ist nicht so, aber Ihre Änderung schafft keine nützliche Unterscheidung. Wenn zwei ideale Dioden ein Paar von Schaltungsknoten verbinden, ist das einzige, was zählt, die Gesamtspannung oder der Gesamtstrom zwischen diesen Knoten; Die Verteilung der Spannung oder des Stroms zwischen den einzelnen Dioden spielt keinerlei Rolle. Und einen irrelevanten Begriff wie "konvexe Hülle" einzuwerfen, ist nur reines Technobabble.
Dave Tweed
Dies ist sehr nützlich, da es keine Hoffnung auf einen Beweis der Einzigartigkeit ohne weitere Annahmen gibt. Die nächste Frage ist natürlich, ob es ausreicht, zwei Dioden hintereinander und zwei Dioden parallel auszuschließen, oder ob es Gegenbeispiele mit größerer Komplexität gibt.
Stefan
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Ich habe keinen strengen Beweis, aber die allgemeine Idee ist, dass es nur eine Lösung geben kann, solange die Komponenten einer Schaltung VI-Kurven haben, die einwertige Funktionen sind (dies schließt sowohl Dioden als auch lineare Komponenten ein) die Schaltung insgesamt.

Dave Tweed
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Art der Induktion auf einer Überlagerung. Der Basisfall wäre eine Einzeldiodenschaltung, die leicht zu zeigen ist, wenn eine einzelne Lösung vorliegt. Dann hat der Induktionsschritt, um die Kombination der Basisschaltungen zu zeigen, eine einzige Lösung.
Eugene Sh.
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Die in der Gleichung diskutierte ideale Diode hat jedoch keine einwertige IV-Kurve.
Ben Voigt
@BenVoigt: Beim Umgang mit idealen Komponenten und den damit verbundenen Nullen und Unendlichkeiten muss man vorsichtig sein. Das Konzept der Grenzen ist entscheidend: Der Vorwärtswiderstand ist infinitesimal, aber nicht Null, und die Rückwärtsleitfähigkeit ist ebenfalls infinitesimal, aber nicht Null. Auf diese Weise betrachtet ist die Gleichung tatsächlich einwertig.
Dave Tweed
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Ich denke ist ganz einfach:

Sie können die in Vorwärtsrichtung vorgespannten idealen Dioden als Kurzschlüsse und die in Rückwärtsrichtung vorgespannten idealen Dioden als offene Schaltkreise behandeln. In jedem Fall erhalten Sie also Schaltkreise mit nur linearen Komponenten (da alle Dioden entweder zu offenen Schaltkreisen oder Kurzschlüssen aufgelöst werden), und diese linearen Schaltkreise haben bekanntermaßen genau eine Lösung.

Quark
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Aber jeder dieser Schaltkreise wird eine Lösung haben - wie beweisen Sie, dass nur einer selbstkonsistent ist?
Ben Voigt
@ Ben Voigt: ok, ich verstehe. Das ist noch nicht bewiesen (und ist wahrscheinlich das Hauptwerk)
Curd
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Aus Wikipedia Ladezeilen EintragAus Wikipedia Ladezeilen Eintrag

Aufgrund der Art des Problems gibt es nur eine einzige Lösung. Dies lässt sich am besten grafisch in Form von Lastlinien veranschaulichen. Die Diode hat eine Gleichung, die die Beziehung zwischen dem Strom durch sie (y-Achse) und der Spannung über ihr (x-Achse) beschreibt. Hier ist die x-Achse die Spannung über der Diode.

Schauen Sie, was mit dem Strom über dem Widerstand passiert, wenn sich die Spannung über der Diode ändert. Wenn die Spannung über der Diode Vdd ist, würde es keinen Spannungsabfall über dem Widerstand geben, da die Spannung über dem Widerstand und der Diode sich zu Vdd summieren muss, und somit würde über dem Widerstand kein Strom anliegen (Ohmsches Gesetz). In ähnlicher Weise würde bei einem Spannungsabfall von Null über der Diode Vdd über dem Widerstand und der Strom durch den Widerstand Vdd / R betragen.

Jetzt wissen wir, dass dies unrealistische Situationen sind, da der Strom in der Diode und im Widerstand gleich sein muss. Anhand der Gleichung für den Widerstand (linear) und der Gleichung für die Diode (nichtlinear, aber monoton ansteigend) können wir in der Grafik sehen, dass dies nur an einem einzigen Punkt geschehen kann, dem Schnittpunkt der beiden Kurven.

Die gleichzeitige Lösung von drei Gleichungen (der Widerstand, die Diode und die Tatsache, dass die beiden Ströme gleich sein müssen) ergibt somit eine eindeutige Lösung.

Diese Methode funktioniert für alle Schaltungselemente.

Bei Rückstromdioden ist dies etwas anders, da der Widerstandsstrom in die andere Richtung geht und dem Diagramm ein Quadrant hinzugefügt werden muss.

Scott Seidman
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Die von Ihnen gezeigte Dioden-IV-Kurve ist nicht die IV-Kurve einer idealen Diode.
Curd
@Curd: Angesichts des Mangels an Skalierungsfaktoren ist es nah genug. Siehe meinen Kommentar zu Ben Voigt.
Dave Tweed
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Dies ist eine gute Erklärung für den Fall mit einer Diode, aber mein eigentliches Problem ist der Fall mit mehreren Dioden.
Stefan
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Der "Beweis" dafür würde nur für bestimmte Schaltkreise funktionieren. Wenn Sie eine gewisse Verstärkung haben und die einzigen nichtlinearen Elemente die Dioden selbst sind, können Sie mehrere mögliche Zustände haben. Zum Beispiel (möglicherweise nicht das einfachste Beispiel).

Diese Schaltung arbeitet mit einem idealen perfekt linearen Operationsverstärker, und der Ausgang geht nie auf unendlich oder gesättigt. Bei 0 V kann er jedoch am Ausgang etwa +6 oder etwa -6 betragen, wobei das eine oder andere Diodenpaar leitet . Es funktioniert auch mit "fast idealen" Dioden, die im eingeschalteten Zustand einen Vorwärtsabfall aufweisen und keine anderen Nichtidealitäten aufweisen.

schematisch

(und natürlich sind Tunneldioden mit ihrer nicht monotonen IV-Kurve ein Sonderfall).

Der Beweis müsste wahrscheinlich nur passive Elemente wie Widerstände erfordern (keine abhängigen Strom- oder Spannungsquellen). Oder vielleicht nur mit idealen Dioden mit 0V Vf.

Spehro Pefhany
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Ist es nicht klar, dass die Klasse von Schaltkreisen, über die wir hier sprechen, alles mit Verstärkung ausschließt, wie z. B. Geräte mit drei Anschlüssen oder Geräte mit negativem Widerstand?
Dave Tweed
@ DaveTweed Nein, ist es nicht. Die ursprüngliche Frage lautet "lineare Komponenten", was zumindest für Dioden mit Vorwärtsabfall nicht einschränkend genug ist. Typische Lehrbuchfragen haben nur unabhängige Spannungs- und Stromquellen und -widerstände sowie ideale oder etwas ideale Dioden. Bei realen und nützlichen Schaltkreisen handelt es sich normalerweise um Operationsverstärker (IME).
Spehro Pefhany
Ich habe gemeint, was Sie als typische Lehrbuchfragen beschreiben.
Stefan
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Sie haben Recht, die Frage sollte "passiv" lauten, wenn aktive, aber lineare Elemente ausgeschlossen werden sollen.
Ben Voigt
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Dies ist kein vollständiger Beweis, aber vielleicht bringt es Sie auf den richtigen Weg:

Wenn es mehrere Lösungen gibt, gibt es mindestens eine Diode, die entweder vorwärts oder rückwärts vorgespannt sein kann. Betrachten Sie eine solche Diode. In einer gegebenen Lösung ist sie entweder vorwärts oder rückwärts vorgespannt. Definieren wir die Spannungen an den Anschlüssen Va und Vb so, dass bei Vorwärtsvorspannung Va> = Vb und bei Vorwärtsvorspannung Vb> = Va. Im vorwärts- oder rückwärts vorgespannten Fall der Rest of the Circuit (RotC) erzeugt diese Spannungen an den Anschlüssen der Diode.

Da Sie angegeben haben, dass die Schaltung aus linearen Elementen und Dioden besteht, ist die RotC entweder ein rein lineares Netzwerk oder enthält mehr Dioden.

Wenn das RotC ein rein lineares Netzwerk ist, hat es nur eine Lösung, und die einzige Lösung für die Einschränkungen Va> = Vb und Vb> = Va ist Va = Vb.

Wenn die RotC mehr Dioden mit mehreren möglichen Lösungen enthält, ziehen Sie die nächste solche Diode in Betracht. Auch hier ist es entweder mit einem linearen Netzwerk oder einem Netzwerk mit mehr Dioden mit mehreren möglichen Lösungen verbunden.

Wenn wir annehmen, dass es eine endliche Anzahl von Dioden in der Schaltung gibt ...

PProteus
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