Innenwiderstand einer Batterie

Ich versuche herauszufinden, wo ich bei folgendem Problem einen Fehler gemacht habe:

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schaltplan erstellt mit CircuitLab}

Die beiden Batterien sind identisch und haben jeweils eine Leerlaufspannung von 1,5V. Die Lampe hat einen Widerstand von 5 wenn sie leuchtet. Bei geschlossenem Schalter werden 2,5 V an der Lampe gemessen. Wie hoch ist der Innenwiderstand jeder Batterie?$\Omega$

(Aufgabe 2.1 in Agarwal und Langs, Grundlagen analoger und digitaler elektronischer Schaltungen ). Beachten Sie die Antwort auf der Rückseite des Buches: 0,5 .$\Omega$

Hier ist meine Lösung:

Schritt 1

Verwenden Sie das Elementgesetz, um den Strom durch die Glühbirne zu ermitteln. v = i R → i 1 = ${i}_{1}$

$$v=iR \rightarrow {i}_{1} = \frac{v}{{R}_{bulb}}=\frac{2.5V}{5\Omega}=\frac{1}{2}A.$$ Schritt 2

Modellieren Sie den Innenwiderstand jeder Batterie als Widerstand. Geben Sie den Ersatzwiderstand der beiden Widerstände in Reihe an.

$${R}_{eq}={R}_{1}+{R}_{2}=2{R}_{n}$$ Schritt 3

Nach dem Kirchoffschen Spannungsgesetz muss die Potentialdifferenz zwischen den beiden Batterien gleich und der Potentialdifferenz zwischen den Lampen entgegengesetzt sein. Ich kombiniere das Elementgesetz mit dem obigen Ausdruck auf folgende Weise:

$$v={i}_{2}{R}_{eq} \rightarrow {R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{2}} (eqn. 1)$$ Schritt 4

Nach dem Kirchoffschen Stromgesetz ist die Summe der Ströme an jedem Knoten Null.

$${i}_{1}-{i}_{2}=0 \rightarrow {i}_{2}={i}_{1} (eqn.2)$$ Schritt 5

Gleichungen kombinieren. 1 & 2, um , den Innenwiderstand einer einzelnen Batterie, zu finden. R n = ${R}_{n}$

$${R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{1}}=2.5\Omega$$

Fazit

Nachdem ich über die Problemstellung nachgedacht habe, insbesondere über den Teil der Leerlaufspannung, weiß ich, dass ich einen logischen Irrtum begangen habe. Aber ich kann es einfach nicht alleine sehen. Was habe ich falsch gemacht? Sollte ich mir nicht vorstellen, dass der Innenwiderstand der Batterien als Widerstand modelliert werden kann? Wäre ein Energie / Energie-Ansatz für dieses Problem besser geeignet?

Ich denke, Ihr Missverständnis passiert in Schritt 3:

Nach dem Kirchoffschen Spannungsgesetz muss die Potentialdifferenz zwischen den beiden Batterien gleich und der Potentialdifferenz zwischen den Lampen entgegengesetzt sein. Ich kombiniere das Elementgesetz mit dem obigen Ausdruck auf folgende Weise [...]

Dies ist nicht wahr oder zumindest nicht präzise genug geschrieben. Vielleicht solltest du die komplette Schaltung zeichnen, um das Verständnis zu erleichtern:

^{simulieren Sie diese Schaltung - erstellt mit CircuitLab}

Wenden Sie nun das Spannungsgesetz an:

$$V(BAT1) + (-I\times R1) + V(BAT2) + (-I\times R2) + (-I\times R(LAMP1)) = 0$$ $$2 V_{bat} - I\times 5\ \Omega = 2 I\times X$$ $$\frac{V_{bat}}{I} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$\frac{1,5\ V}{0,5\ A} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$X = 0.5\ \Omega$$

Ich habe den Strom durch den Spannungsmesser weggelassen (angenommen, er ist ideal), daher muss kein Stromgesetz angewendet werden, da nur ein bekannter Strom in der Schleife fließt.

Du hast es zu kompliziert gemacht. Der Batteriestrom beträgt wie gesagt 0,5A. Diese 0,5 A verursachen einen Abfall der Batteriespannung um 0,5 V aufgrund des kombinierten Reihenwiderstands der Batterien. Wir können nur das Ohmsche Gesetz anwenden. Vdrop = Ibatt * Rbatt.

Rbatt = 0,5 V / 0,5 A = 1 Ohm. Aber das ist der kombinierte Serienwiderstand. Jede Batterie trägt also 0,5 Ohm zur Gesamtsumme bei.

Der Fehler in der Analyse ist in Gleichung 1. Die richtige Gleichung lautet:

$V_{Bat1}+V_{Bat2}-i_2R_{eq}=v$

Nebenbei bemerkt entsteht der Innenwiderstand aufgrund der Mobilität des Elektrolyten, der Konzentration, der Oberfläche der Elektroden und der Länge zwischen den Elektroden. Die Spannung entsteht durch Redoxpotentiale der Elektroden und es gibt die nernste Gleichung für die Konzentration.