Unter welchen Bedingungen ist die Sternnetztransformation invertierbar?

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Wir alle kennen und lieben die Transformationen Δ-Y (Delta-Stern) und Y-Δ (Stern-Dreieck) zur Vereinfachung von Drei-Widerstands-Netzen:

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Die Δ-Y- und Y-Δ-Transformationen haben die nette Eigenschaft, dass ein Δ immer in ein Y und ein Y immer in ein Δ umgewandelt werden kann, unabhängig vom Wert der beteiligten Widerstände.

Es gibt eine verallgemeinerte Version der Y-Δ-Transformation, die als Sternnetztransformation bezeichnet wird . Dies wandelt einen "Stern" von Widerständen in ein "Geflecht" von Widerständen um.NNC2

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Wikipedia schlägt vor, dass die Stern-zu-Netz-Transformation immer existieren wird - aber dass die inverse Transformation, Netz-zu-Stern, möglicherweise nicht existiert. Nämlich:

Die Transformation ersetzt N Widerstände durch Widerstände. Für N> 3 ist das Ergebnis eine Erhöhung der Anzahl der Widerstände, so dass die Transformation ohne zusätzliche Einschränkungen keine allgemeine Inverse aufweist.NC2

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Inverse existiert?

Ich bin besonders daran interessiert, ein 4-Knoten-Maschennetz in ein 4-Widerstands-Sternnetz umzuwandeln.


Motivation für die Frage: Ich habe ein industrielles Energiesystemmodell (eigentlich nur ein sehr großes Netzwerk von Konstantspannungsquellen und Impedanzen) mit ~ 2.000 Knoten. Ich versuche, es auf nur vier Knoten von Interesse zu reduzieren.


Bearbeiten:

Es gibt einige veröffentlichte Artikel zu diesem Thema.

  • Versfeld, L., "Bemerkungen zur Sterngitter -Transformation elektrischer Netze", Electronics Letters, Band 6, Nr. 19, S. 597.599, 17. September 1970

    Zwei neue Aspekte der bekannten Sternnetztransformation werden untersucht: (a) die notwendigen und ausreichenden Bedingungen für die Transformation eines gegebenen allgemeinen Maschennetzes in ein äquivalentes Sternnetz; b) eine Ausweitung auf Netze, die Quellen enthalten.

  • Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, "Mesh-Star Transformation", Electronics Letters, Band 10, Nr. 6, S. 73, 74, 21. März 1974

    Ein äquivalentes Sternennetz existiert für ein gegebenes Maschennetz, wenn dieses die Wheatstone-Beziehung erfüllt. Anhand dieser Tatsache wird gezeigt, dass alle nichtdiagonalen Cofaktoren der Datenknoten-Admittanzmatrix eines solchen Maschennetzwerks gleich sind. Aus dieser Eigenschaft wird eine einfache Beziehung zwischen den Elementen der beiden Netzwerke abgeleitet.

Ich habe keinen IEEE Xplore-Zugriff und kann sie daher nicht lesen.

Li-aung Yip
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@ user26129: Diese Frage entspricht den Fragen zur Schaltungsanalyse, die EE.SE bereits in Hülle und Fülle erhält. Das einzig Ungewöhnliche ist, dass es sich nicht um Bachelor-Studienleistungen handelt und es sich eher um eine allgemeine Frage als um eine bestimmte Übung aus einem Lehrbuch handelt.
Li-aung Yip
@ Li-aungYip: Ich bestreite nicht die Gültigkeit Ihrer Frage in EE.SE, aber ich glaube, Sie werden anderswo mehr und bessere Antworten erhalten. Ich versuche, Ihnen zu helfen, eine Antwort zu finden, und versuche nicht, Ihre Frage herabzusetzen;)
user36129
@ user26129: Ah! Die gewünschte Antwort finden Sie in jedem Fall in den verlinkten Electronics Letters-Artikeln. Ich versuche, eine Kopie davon zu erhalten, damit ich sie lesen und die entsprechenden Teile als Antwort hier posten kann.
Li-aung Yip
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@ Li-aungYip gut, wenn das alles ist, was Sie brauchen ... efficiencyelectronics.nl/04245011.pdf
user36129
Ich habe nicht wirklich verstanden, wie man die verschiedenen Widerstände im Maschennetz berechnet, wenn man die Sternnetzwiderstände zugrunde legt, aber da die Anzahl der Widerstände zunimmt, sollten die zusätzlichen Einschränkungen, die Sie suchen, willkürlich sein. Das Lösen der Gleichungen für die inverse Transformation führt zu einem Gleichungssystem, das mehr Variablen als Gleichungen enthält. Wählen Sie also einfach einige Widerstände aus und berechnen Sie die anderen.
Vladimir Cravero

Antworten:

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NbNb=NeNvNeNvGABGCD=GACGBD=GADGBC

GXY=GXGYGTOTGTOT=i=1nGiGXY0GXGY=GXZGYZGAGB=GACGBC=GADGBDGACGBD=GADGBCGCGD=GACGAD=GBCGBDGABGCD=GADGBCGABGCD=GACGBDGABGCD=GACGBD=GADGBCGTOTGTOT=GA+GB+GC+GD=GA(1+β+γ+δ)β=GBGA=GBCGAC=GBDGADGAB=GAGBGTOT=GAGBGA(1+β+γ+δ)=GB(1+β+γ+δ)GB=GEINB(1+β+γ+δ)

Ich nehme an, all dies bedeutet, dass die Bedingung auch eine ausreichende Bedingung ist.

MatteoDL
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GABGCD=GACGBD=GADGBC
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Dies besagt (ob es wahr ist oder nicht), dass es mehr als eine Möglichkeit gibt, einem Sternnetzwerk aus fünf Widerständen Werte zuzuweisen, sodass alle Konfigurationen gemäß allen externen "Blackbox" -Widerstandsmessungen nicht unterscheidbar erscheinen.

Die Maschentransformation ist hier ein roter Hering. Wenn die Sternennetzwerke eindeutig bestimmt wären, gäbe es natürlich immer eine Umkehrung einer Zuordnung von diesem Netzwerk zu einem anderen Typ, zurück zu diesem Netzwerk.

Kaz
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