Wie skaliert die Approximation von Gattern über Universaltore mit der Länge der Berechnung?

Ich verstehe, dass es einen konstruktiven Beweis dafür gibt, dass beliebige Tore durch eine endliche universelle Tormenge angenähert werden können, die das Solovay-Kitaev-Theorem ist .
Die Näherung führt jedoch zu einem Fehler, der sich bei einer langen Berechnung ausbreiten und ansammeln würde. Dies würde vermutlich schlecht mit der Länge der Berechnung skalieren? Möglicherweise könnte man den Näherungsalgorithmus auf die gesamte Schaltung anwenden, nicht auf ein einzelnes Gate. Aber wie skaliert diese mit der Länge der Berechnung (dh wie skaliert die Approximation mit der Dimension der Tore)? In welcher Beziehung steht die Gate-Approximation zur Gate-Synthese? Weil ich mir vorstellen könnte, dass dies die endgültige Länge der Berechnung beeinflusst?
Noch beunruhigender für mich: Was passiert, wenn die Länge der Berechnung zum Zeitpunkt der Erstellung der Gate-Sequenz nicht bekannt ist?

$A$ ε O ( log c $\left\lVert A\right\rVert$$A$$A$$\epsilon$c<

$$\mathcal O\left(\log^c\frac 1\epsilon\right)$$ $c<4$

Für den ersten Teil:

Die Approximation führt zu einem Fehler, der sich in einer langen Berechnung ausbreiten und ansammeln würde

Nun, es kann durch Induktion gezeigt werden, dass Fehler, die durch die Verwendung einer Matrix zur Approximation einer anderen akkumuliert werden, subadditiv sind (siehe z. B. Vorlesungsunterlagen von Andrew Child ). Das heißt, für unitäre Matrizen und , .V i ‖ U i - V i ‖ < $U_i$$V_i$$\left\lVert U_i - V_i\right\rVert < \epsilon\,\forall\, i \in \left\lbrace1, 2, \ldots, t\right \rbrace\implies \left\lVert U_t\ldots U_2U_1 - V_t\ldots V_2V_1\right\rVert \leq t\epsilon$

Für die Implementierung bedeutet dies, dass für einen Gesamtfehler, der nicht größer als ist, jedes Gatter innerhalb von angenähert werden muss , oderϵ /$\epsilon$$\epsilon/t$

Anwenden der Näherung auf die gesamte Schaltung

entspricht dem Anwenden der Approximation auf jedes einzelne Gate, wobei jedes einzelne Gate einen Fehler aufweist, der nicht größer ist als der der gesamten Schaltung, dividiert durch die Anzahl der zu approximierenden Gates.

In Bezug auf die der Algorithmus ausgeführt, indem Produkte des , um einen neuen bilden, der ein Netz für (z ein beliebiger ). Ausgehend von der Identität wird eine neue Einheit rekursiv aus der neuen Tormenge herausgefunden, um ein dichteres Netz um die Zieleinheit zu erhalten. Seltsamerweise ist die Zeit, die ein klassischer Algorithmus benötigt, um diese Operation auszuführen, auch , was subpolynomielle Zeit ist. Jedoch wie proΓ 0 ϵ 2 VE ( d ) A ∈ VE ( d )$\Gamma$$\Gamma_0$$\epsilon^2$$\operatorname{SU}\left(d\right)$O ( p o l y log 1 / ε ) d ε SU ( d ) & agr; ε d 2 - 1 d $A \in \operatorname{SU}\left(d\right),\, \exists U\in\Gamma_0\, s.t. \left\lVert A-U\right\rVert\leq\epsilon^2$$\mathcal O\left(\mathit{poly} \log 1/\epsilon\right)$Harrow, Recht, Chuang , in Dimensionen, da eine Kugel mit dem Radius um ein Volumen , skaliert dies exponentiell in für eine nicht feste Anzahl von Dimensionen.$d$$\epsilon$$\operatorname{SU}\left(d\right)$$\propto \epsilon^{d^2-1}$$d^2$

Dies hat Auswirkungen auf die endgültige Berechnungszeit. Da jedoch die Skalierung sowohl der Anzahl der Gatter als auch der klassischen Rechenkomplexität subpolynomial ist, ändert dies nichts an der Komplexitätsklasse eines Algorithmus, zumindest nicht für die allgemein berücksichtigten Klassen.

Für Tore ist die Gesamtkomplexität (Zeit und Tor) dann$t$ .

$$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac t\epsilon\right)$$

Bei Verwendung des Einheitsschaltungsmodells ohne Zwischenmessungen ist die Anzahl der zu implementierenden Gatter immer vor der Berechnung bekannt. Es ist jedoch möglich anzunehmen, dass dies nicht der Fall ist, wenn Zwischenmessungen verwendet werden. Wenn also die Anzahl der zu approximierenden Tore unbekannt ist, heißt dies, dass unbekannt ist. und wenn Sie nicht wissen, was ist, können Sie offensichtlich nicht jedes Tor auf einen Fehler approximieren . Wenn Sie eine Grenze für die Anzahl der Tore kennen (z. B. ), können Sie jedes Tor innerhalb von approximieren , um einen Gesamtfehler zu erhaltent ε / t t max ε / t max ≤ ε O ($t$$t$$\epsilon/t$$t_{\text{max}}$$\epsilon/t_{\text{max}}$$\leq\epsilon$ und Komplexität obwohl es keine Obergrenze für die Zahl gibt von Gattern ist bekannt , dann würde jedes Gate zu einem gewissen (kleineren) angenähert werden , eine Gesamtfehler geben für die sich ergebende Anzahl der implementierten Gattern (die zu Beginn nicht bekannt ist) , mit einem Gesamtkomplexität vonϵ′≤t′ϵt′O(t

$$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac {t_{\text{max}}}{\epsilon}\right),$$ $\epsilon'$$\leq t'\epsilon$$t'$ $$\mathcal O\left(t'\, \mathit{poly} \log \frac {1}{\epsilon'}\right).$$

Natürlich ist der Gesamtfehler der dieses noch unbegrenzten, so dass man einfach ¹ Art und Weise um den Fehler zu halten begrenzt wäre, den Fehler jedes Mal um einen Faktor von, sagen wir, zu verringern , so dass die Gatter wäre implementiert mit Fehler . Die Komplexität wäre dann ergibt eine (jetzt polynomielle) Gesamtkomplexität obwohl dies den Vorteil hat einen beschränkten Fehler zu gewährleisten.n t h ϵ / 2 n O ( p o l y log 2 $2$$n^{th}$$\epsilon/2^n$

$$\mathcal O\left(\mathit{poly} \log \frac {2^n}{\epsilon'}\right) = \mathcal O\left(\mathit{poly}\, n\log \frac {1}{\epsilon'}\right),$$ $$\mathcal O\left(\mathit{poly}\, t \log \frac {1}{\epsilon}\right),$$

Das ist nicht so schlimm, also würde ich hoffen, dass klassische Computer (wenn die Anzahl der Gates nicht bekannt ist) in der Lage sind, die richtigen Gates mindestens so schnell zu finden, wie ein Quantenprozessor sie benötigt. Wenn nicht aktuell, dann werden hoffentlich einmal Quantenprozessoren so gut, dass dies tatsächlich zum Problem wird!

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^{1 Obwohl wahrscheinlich nicht die effizienteste}