Wie zerlegt man bei einer Zerlegung für ein einheitliches

Angenommen, wir haben eine Schaltungszerlegung eines einheitlichen Verwendung eines universellen Gatesatzes (zum Beispiel CNOT-Gates und einzelne Qubit-Unitaries). Gibt es eine direkte Möglichkeit, den Stromkreis der entsprechenden gesteuerten Einheit C aufzuschreiben?$U$ Verwendung desselben universellen Gate-Sets?$C_U$

Nehmen wir zum Beispiel $U=i Y = H X H X$ als Schaltung:

Wir können die Gatter durch C X (CNOT) -Gatter ersetzen , um C U zu erhalten$X$$C_X$$C_U$ :

Dies funktioniert, wenn sich das Kontroll-Qubit im Zustand die Aktion auf dem Ziel ist H 2 = I , während für | 1 ⟩ es gilt die Schaltung für U . Für ein anderes U , insbesondere wenn es auf mehrere Qubits einwirkt, kann das Aufstellen einer solchen Schaltung umständlich sein. Gibt es ein Rezept, um die Schaltung von C U zu erhalten, vorausgesetzt, Sie wissen, wie man U baut ?$|0\rangle$$H^2=\mathbb{I}$$|1\rangle$$U$$U$$C_U$$U$

Die Frage ist möglicherweise nicht vollständig definiert, in dem Sinne, dass Sie die Menge der Gatter angeben müssen, die Sie verwenden möchten, um aus einer Zerlegung von U zu berechnen . In der Tat ist es ein bekanntes Ergebnis, dass jedes n- Qubit-Gatter unter Verwendung von CNOT- und Single-Qubit-Operationen genau zerlegt werden kann , so dass eine naive Antwort auf die Frage wäre: Zerlegen Sie C ( U ) einfach unter Verwendung von Single-Qubit und CNOTs .$C(U)$$U$$n$$\text{CNOT}$$C(U)$$\text{CNOT}$

Eine andere Interpretation der Frage ist die folgende: gegeben , kann ich compute C ( U ) einen Satz einzelsträngiger Qubit - Operationen und die Verwendung CNOT s nicht auf der Steuer Qubit und CNOT s mit der Steuerung das erste Qubit zu sein? Dies kann durch Verallgemeinerung eines Ergebnisses aus Kapitel 4 von Nielsen & Chuang erreicht werden .$U$$C(U)$$\text{CNOT}$$\text{CNOT}$

Sei ein Single-Qubit-Gate. Es kann dann gezeigt werden , dass U immer als geschrieben werden kann , U = e i α A X B X C , wobei X das Pauli X - Gate ist und A , B und C sind Single-Qubit - Operationen derart , daß A B C = I ( siehe N & C für einen Beweis). Daraus folgt, dass C ( U ) = ≤ 1 ( α ) A 2 C ( X ) $U$$U$$U = e^{i\alpha} AXBXC$$X$$A, B$$C$$ABC=I$ wobei Φ 1 ( α ) ≡ ( 1 0 0 e i α ) ⊗ I ist ein Phase Gate mit dem ersten Qubit aufgebracht und A 2 , B 2 , C 2 sind , A , B , C angewandt zum zweiten Qubit. Dies ist unmittelbar, wenn Sie feststellen, dass | das erste Qubit ist 0 ⟩ , dann C ( X

$$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$$ $\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$$A_2, B_2, C_2$$A, B, C$$|0\rangle$$C(X)$wird eine Identität, und auf dem zweiten Qubit haben Sie die Operationen , die die Identität geben. Wenn andererseits das erste Qubit | ist 1 ⟩ , dann auf der zweiten Schiene hat man A X B X C , die (zusammen mit der Phase) gleich U per Definition.$ABC$$|1\rangle$$AXBXC$$U$

Die obige Zerlegung kann verwendet werden, um einen naiven Weg zu finden, um für ein allgemeines einheitliches n- Bit-Gatter zu berechnen . Die Hauptbeobachtung ist , dass , wenn U = A 1 A 2 ⋯ A m für jede Gruppe von Gattern { A 1 , . . , A m } , dann C ( U ) = C ( A 1 ) C ( A 2 ) ⋯ C ( A m$C(U)$$n$$U=A_1 A_2\cdots A_m$$\{A_1,..,A_m\}$

$$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$$ Wir wissen aber auch, dass jedes Qubit U in CNOTs und Single-Qubit-Operationen zerlegt werden kann. Daraus folgt, dass C ( U ) eine Folge von CCNOT- und C ( V ) -Operationen ist, wobei CCNOT hier ein X- Gatter ist, das auf ein Qubit angewendet wird, das auf zwei andere Qubits konditioniert ist, die | sind 1 ⟩ , und V ist eine Single-Qubit - Operation an einem gewissen Qubit. Aber auch hier kann jede CCNOT-Operation (auch Toffoli genannt ) zerlegt werden, wie in Abbildung 4.9 in N & C gezeigt, und die C ( V $n$$U$$C(U)$$C(V)$$X$$|1\rangle$$V$$C(V)$ werden wie im ersten Teil der Antwort gezeigt zerlegt.

Dieses Verfahren ermöglicht das Zerlegen eines allgemeinen einheitlichen Qubit-Gatters U unter Verwendung nur von CNOT- und Single-Qubit-Gattern. Sie können dann weiter gehen und dies verallgemeinern, um eine Zerlegung für den Fall mehrerer Kontroll-Qubits zu finden. Zu diesem Zweck benötigen Sie erst jetzt eine Möglichkeit, die Toffoli-Tore zu zerlegen, die wiederum in Abbildung 4.9 von N & C zu finden ist.$n$$U$$\text{CNOT}$

Although this might not answer your question completely, I think it might provide some direction of thinking. Here are two important facts:

• Any unitary $2^{n}\times 2^{n}$ matrix $M$, can be realized on a quantum computer with $n$-quantum bits by a finite sequence of controlled-not and single qubit gates¹.

• Suppose $U$ is a unitary $2\times 2$ matrix satisfying $\text{tr } U \neq 0$, $\text{tr} (UX) \neq 0$, and $\text{det } U \neq 1$. Then six elementary gates are necessary and sufficient to implement a controlled $U$-gate².

It should be possible to extend the second case to the general $n\times n$ case, given the first point, although I haven't found any paper which does that explicitly.

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1 Elementary gates for quantum computation-A. Barenco (Oxford), C. H. Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), D. P. DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Optimal Realizations of Controlled Unitary Gates - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)