Quantenkanalmodelle

Der sogenannte Depolarisationskanal ist das Kanalmodell, das hauptsächlich bei der Konstruktion von Quantenfehlerkorrekturcodes verwendet wird. Die Wirkung eines solchen Kanals über einen Quantenzustand $\rho$ ist

$\rho\rightarrow(1-p_x-p_y-p_z)\rho+p_xX\rho X+p_yY\rho Y+p_zZ\rho Z$

Ich habe mich gefragt, welche anderen Kanalmodelle in der Quantenkommunikation berücksichtigt werden und wie sich die Berücksichtigung solcher anderen Kanäle auf die Konstruktion von Fehlerkorrekturcodes auswirkt.

Lassen Sie mich zunächst einen kleinen Punkt in Bezug auf die Terminologie erwähnen. Der von Ihnen vorgeschlagene Kanaltyp wird häufig als Pauli-Kanal bezeichnet . Der Begriff Depolarisationskanal bezieht sich normalerweise auf den Fall, in dem .$p_x = p_y = p_z$

Es ist jedenfalls nicht richtig zu sagen, dass Pauli-Kanäle das Kanalmodell sind, das für die Quantenfehlerkorrektur in Betracht gezogen wird. Standardcodes zur Korrektur von Quantenfehlern können vor willkürlichen Fehlern schützen (dargestellt durch einen von Ihnen gewählten Quantenkanal), solange die Fehler nicht zu viele Qubits betreffen.

Betrachten wir als Beispiel einen beliebigen Einzel-Qubit-Fehler, der durch einen Kanal ein Qubit auf ein Qubit abbildet. Ein solcher Kanal kann in Kraus-Form ausgedrückt werden als $\Phi$

$$\Phi(\rho) = A_1 \rho A_1^{\dagger} + \cdots + A_m \rho A_m^{\dagger}$$ für eine Auswahl von Kraus-Operatoren . (Für einen Qubit-Kanal können wir immer m = 4 nehmen, wenn wir wollen.) Sie können diese Operatoren beispielsweise so wählen, dass Φ ( ρ ) = | 0 ⟩ ⟨ 0 | für jeden Qubit-Zustand $A_1,\ldots,A_m$$m = 4$$\Phi(\rho) = |0\rangle \langle 0|$$\rho$Sie könnten den Fehler einheitlich machen oder was auch immer Sie sonst wählen. Die Auswahl kann sogar kontrovers sein, nachdem Sie wissen, wie der Code funktioniert.

Jeder der Kraus-Operatoren kann als lineare Kombination von Pauli-Operatoren ausgedrückt werden, da die Pauli-Operatoren eine Basis für den Raum von 2 mal 2 komplexen Matrizen bilden: A k = a k I + b k X + c k Y + d k Z . Wenn Sie jetzt die Kraus Darstellung erweitern aus Φ oben, du bist eine schmutzige Ausdruck erhalten , in dem Φ ( ρ ) sieht aus wie eine lineare Kombination von Operatoren der Form P i ρ P j wo$A_k$

$$A_k = a_k I + b_k X + c_k Y + d_k Z.$$ $\Phi$$\Phi(\rho)$$P_i \rho P_j$ und P 1 = I , P 2 = X , P 3 = Y und P 4 = Z .$i,j\in\{1,2,3,4\}$$P_1 = I$$P_2 = X$$P_3 = Y$$P_4 = Z$

$X$$Y$$Z$

$\Phi$

$$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_j \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_j\:\text{syndrome}|.$$ $|\psi\rangle$$P_i$$P_j$$P_i$$P_j$

$$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_i \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_i\:\text{syndrome}|.$$

Dies alles wird (etwas kurz) in Abschnitt 10.2 von Nielsen und Chuang beschrieben.