CNOT-Tor auf verwickelten Qubits

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Ich habe versucht, einen Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) -Zustand für Zustände mithilfe von Quantencomputern zu generieren , beginnend mit (N-mal)| 000 ... 000⟩N|000...000

Die vorgeschlagene Lösung besteht darin, zuerst die Hadamard-Transformation auf das erste Qubit anzuwenden und dann eine Schleife von CNOT-Gattern mit dem ersten Qubit aller anderen zu starten.

Ich kann nicht verstehen, wie ich CNOT ( ) durchführen kann, wenn Teil eines verschränkten Paares ist, wie der Bell-Zustand der sich hier nach der Hadamard-Transformation bildet.q 1 B 0q1,q2q1B0

Ich weiß, wie man den Code dafür schreibt, aber algebraisch, warum ist diese Methode korrekt und wie wird sie gemacht? Vielen Dank.

Satvik Golechha
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Ich kann nicht verstehen, wie ich CNOT ( ) durchführen kann, wenn Teil eines verschränkten Paares ist, wie der Bell-Zustand der sich hier nach der Hadamard-Transformation bildet.q 1 B 0q1,q2q1B0

Der Schlüssel besteht darin, zu bemerken, was mit den rechnerischen Basiszuständen (oder im Übrigen mit jedem anderen vollständigen Satz von Basiszuständen) passiert, wenn die relevanten Quantentore angewendet werden. Es spielt keine Rolle, ob der Staat verwickelt oder trennbar ist. Diese Methode funktioniert immer .

Betrachten wir den Qubit-Bell-Zustand (von zwei Qubits und ):A B.2AB

|Ψ=12(|00+|11)

| 00 | 11 | 0 A & xotime ; | 0 B | 1 A & xotime ; | 1 B | 1 A & xotime ; | 1 B | 01 | 10 | & PSgr; | 0 | 1 | 1 | 0 B A|Ψ wird durch eine gleiche lineare Überlagerung der rechnerischen Basiszustände & (ausgedrückt als und ) und . Wir brauchen uns keine Sorgen um die beiden anderen rechnerischen Basiszustände zu machen: und da sie nicht Teil der Bell-Zustandsüberlagerung . Ein CNOT-Gatter kippt grundsätzlich um (dh es wird entweder eine der beiden Zuordnungen oder|00|11|0A|0B|1A|1B|1A|1B|01|10|Ψ|0|1|1|0 ) der Zustand des Qubits falls sich das Qubit im Zustand , oder es tut überhaupt nichts.B A|1

Grundsätzlich behält CNOT also den rechnerischen Basiszustand bei. Es wird jedoch den rechnerischen Basiszustand in konvertieren . Aus der Aktion von CNOT auf und können Sie die Aktion von CNOT auf den Überlagerungszustand jetzt ableiten :| 11 | 10 | 00 | 11 | & PSgr; |00|11|10|00|11|Ψ

CNOT|Ψ=12(|00+|10)

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Sie erwähnen in den Kommentaren , dass Sie eine der beiden Qubits des verschränkten Zustand wollen als handeln Kontrolle (und die NOT - Operation wird auf einem anderen Qubit angewandt werden, sagen , in Abhängigkeit von der Steuerung ).C|Ψ C

Auch in diesem Fall können Sie ähnlich wie oben vorgehen.

Notieren Sie die -qubit kombinierten Zustand :3

=1

|Ψ|0C=12(|0A|0B+|1A|1B)|0C
=12(|0A|0B|0C+|1A|1B|0C)

Angenommen, ist Ihr Kontroll- Qubit.B

Noch einmal werden wir einfach die Wirkung des CNOT auf die rechnerischen Basiszustände (für ein 3-Qubit-System) überprüfen, dh & . In Rechenbasiszustand Mitteilung , dass der Zustand des Qubits ist und dass die Qubit ist . Da Qubit im Zustand , der Zustand des Qubits wird nicht umgedreht werden. Sie jedoch, dass im rechnerischen das Qubit| 110 | 000 = | 0 A & xotime ; | 0 B | 0 C B | 0 C | 0 B | 0 C | 110 = | 1 A & xotime ; | 1 B & xotime ; | 0 C B | 1 C ||000|110|000=|0A|0B|0CB|0C|0B|0C|110=|1A|1B|0CBbefindet sich im Zustand während sich Qubit im Zustand . Da sich das Qubit im Zustand , wird der Zustand des Qubits auf umgedreht .|1CB | 1 C | 1 |0B|1C|1

So erhalten Sie den Staat:

12(|0A|0B|0C+|1A|1B|1C)

Dies ist der Greenberger-Horne-Zeilinger-Zustand für Ihre Qubits!3

Sanchayan Dutta
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Wir können diese Methode verwenden, wenn wir CNOT auf ein verwickeltes Paar anwenden möchten. Aber das will ich nicht. Was ich möchte, ist, das erste Qubit des verschränkten Zustands (kann es nicht als q1 bezeichnen, da es untrennbar ist) und CNOT auf dieses (q1) und ein anderes Qubit anzuwenden . Wenn möglich, zeigen Sie bitte die Multiplikation der Matrixform. Danke noch einmal. | 0 >B0|0>
Satvik Golechha
@SatvikGolechha Welches ist das Kontroll- Qubit (des Controlled-NOT-Gates): oder das "andere Qubit"? Die Antwort wird davon abhängen. | 0 q1|0
Sanchayan Dutta
Ich betrachte als das Steuerbit. Und die Schwierigkeit, mit der ich konfrontiert bin, besteht darin, dass ich nicht trennen kann und daher nicht sehen kann, was das CNOT-Gatter mit und tun wird . q 1 q 1 | 0 >q1q1q1|0>
Satvik Golechha
@ SatvikGolechha Die Antwort wurde aktualisiert. OK jetzt?
Sanchayan Dutta
Vielen Dank! Die Verwendung der Tensor-Produkteigenschaften macht alles sehr klar und passt jetzt einfach wunderbar. Ich habe diese Antwort als akzeptiert markiert.
Satvik Golechha
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ψ1=|000ψ2=(HII)ψ1=12(|0+|1)|00=12(|000+|100)ψ3=(CNOT12I)ψ2=12(|000+|110)ψ4=(CNOT13I2)ψ3=12(|000+|111)

2 4 × 4 C 2C 2 q iq j CNOT i jCNOTij ist selbst ein Operator für Qubits, der eine Einheitsmatrix ergibt . Sie können es auf jeden Zustand in nicht nur auf die der Form . Schreiben Sie einfach die Koeffizienten in die Berechnungsbasis, in der Sie wissen, was in Bezug auf den des klassischen reversiblen Rechnens zu tun ist . Dann folgen Sie einfach Ihrer Linearitätsnase.24×4C2C2qiqjCNOTij

AHusain
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