Was bedeuten die Pole und Nullen bei der PID-Regelung?

Wenn ich einen Text über die Regelung lese (z. B. PID-Regelung), werden häufig "Pole" und "Nullen" erwähnt. Was meinen sie damit? Welchen physischen Zustand beschreibt ein Pol oder eine Null?

Die Funktion , die beschreibt, wie eine Eingabe in ein System der Ausgabe des Systems zugeordnet wird, wird als Übertragungsfunktion bezeichnet.$T(\mathbf{x})$

Für lineare Systeme kann die Übertragungsfunktion als wobei N und D Polynome sind, dh T ( $N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$$N$$D$

Die Nullen des Systems sind die Werte von , die die Aussage N ( x ) = 0 erfüllen . Mit anderen Worten, sie sind die Wurzeln des Polynoms N ( $x$$N(\mathbf{x}) = 0$ . Als N ( x ) . nähert sich eine Null, nähert sich der Zähler der Übertragungsfunktion (und damit die Übertragungsfunktion selbst) dem Wert 0 an.$N(\mathbf{x})$$N(\mathbf{x})$

In ähnlicher Weise sind die Pole des Systems die Werte von , die die Aussage D ( x ) = 0 erfüllen . Mit anderen Worten, sie sind die Wurzeln des Polynoms D ( x ) . Wenn sich D ( x ) einem Pol nähert, nähert sich der Nenner der Übertragungsfunktion Null und der Wert der Übertragungsfunktion nähert sich der Unendlichkeit.$x$$D(\mathbf{x}) = 0$$D(\mathbf{x})$$D(\mathbf{x})$

Die Pole und Nullen ermöglichen es uns zu verstehen, wie ein System auf verschiedene Eingaben reagiert. Die Nullen sind interessant für ihre Fähigkeit, Frequenzen zu blockieren, während die Pole uns Informationen über die Stabilität des Systems liefern. Im Allgemeinen zeichnen wir die Pole und Nullen in der komplexen Ebene auf und sagen, ein System ist BIBO-stabil (Boundated Input Bounded Output ), wenn sich die Pole in der linken Hälfte der komplexen Ebene befinden (LHP - Left Half Plane).

Wenn wir einen Controller entwerfen, manipulieren wir tatsächlich seine Pole und Nullen, um bestimmte Entwurfsparameter zu erreichen.

Diese Polynomübertragungsfunktionen treten auf, wenn Sie a ausführen Laplace-Transformation für eine lineare Differentialgleichung durchführen, die entweder Ihren Roboter tatsächlich beschreibt oder das Ergebnis der Linearisierung der Roboterdynamik in einem gewünschten Zustand ist. Stellen Sie sich das wie eine "Taylor-Erweiterung" um diesen Zustand vor.

Die Laplace-Transformation ist die Verallgemeinerung der Fourier-Transformation auf Funktionen, die nicht periodisch sind. In der Elektrotechnik wird die Laplace-Transformation als Darstellung des Systems im Frequenzbereich interpretiert , dh es wird beschrieben, wie das System Frequenzen aus dem Eingangssignal überträgt. Nullen beschreiben dann Frequenzen, die nicht übertragen werden. Und wie bereits von DaemonMaker erwähnt, sind Pole wichtig, wenn es um die Stabilität des Systems geht: Die Übertragungsfunktion des Systems geht in der Nähe der Pole ins Unendliche.

Was sie in einem Kontrollkontext bedeuten:

Pole : Sie sagen Ihnen, ob ein System (das auch ein neues System sein kann, in das Sie eine Rückkopplungsschleife mit einem Steuergesetz eingefügt haben) stabil ist oder nicht. Normalerweise soll ein System stabil sein. Sie möchten also, dass sich alle Pole des Systems in der linken Halbebene befinden (dh die Realteile der Pole müssen kleiner als Null sein). Die Pole sind die Eigenwerte Ihrer Systemmatrix . Wie weit sie sich auf der linken Halbebene befinden, zeigt an, wie schnell das System in den Ruhezustand konvergiert. Je weiter sie von der imaginären Achse entfernt sind, desto schneller konvergiert das System.

Nullen : Sie können praktisch sein, wenn Sie einen Pol in der rechten Halbebene oder noch in der linken Halbebene haben, aber zu nahe an der imaginären Achse: Durch geschickte Modifikation Ihres Systems können Sie die Nullen auf Ihre unerwünschten Pole verschieben, um sie zu vernichten sie .

Ich kann nicht wirklich für die Nullen der Übertragungsfunktion sprechen, aber die Pole der Übertragungsfunktion haben definitiv eine sinnvolle Interpretation.

Um diese Interpretation zu verstehen, müssen Sie daran denken , dass das System , dass wir die Kontrolle wollen , ist wirklich eine von zwei Dinge: entweder eine Differentialgleichung oder eine Differenz Gleichung. In beiden Fällen besteht der übliche Ansatz zur Lösung dieser Gleichungen darin, ihre Eigenwerte zu bestimmen. Noch wichtiger ist, dass bei einem linearen System die Eigenwerte der Differential- / Differenzgleichung genau den Polen der Übertragungsfunktion entsprechen. Wenn Sie also die Pole erhalten, erhalten Sie wirklich die Eigenwerte der ursprünglichen Gleichung. Es sind die Eigenwerte der ursprünglichen Gleichung (meiner Meinung nach), die die Stabilität des Systems wirklich bestimmen; Es ist nur ein erstaunlicher Zufall, dass die Pole eines linearen Systems genau die Eigenwerte der ursprünglichen Gleichung sind.

Um dies zu veranschaulichen, betrachten Sie die beiden Fälle getrennt:

Fall 1: Differentialgleichung

$x(t)=Ce^{\lambda t}$$\lambda$ist der Eigenwert. Also die Funktion $x(t)\rightarrow 0$ wie $t\rightarrow \infty$ nur wenn $Re(\lambda)<0$. Ansonsten wenn$Re(\lambda)\ge 0$, Die Quantität $e^{\lambda t}$ würde sehr wahrscheinlich bis unendlich hoch explodieren oder einfach nicht gegen Null konvergieren.

Fall 2: Differenzgleichung

Wenn alle Eigenwerte einer Differenzgleichung kleiner als 1 sind, nähern sich alle Trajektorien (dh alle Lösungen) der Gleichgewichtslösung am Ursprung (x = 0). Dies liegt daran, dass Lösungen einer Differenzgleichung typischerweise die Form einer exponentiellen Sequenz wie haben$x_t=C\lambda^t$, wo $\lambda$ist der Eigenwert. Also die Reihenfolge $x_t\rightarrow 0$ wie $t\rightarrow\infty$ nur wenn $|\lambda|<1$. Ansonsten wenn$|\lambda|\ge 1$, Die Quantität $\lambda^t$ würde in der Größe bis ins Unendliche explodieren oder einfach nicht gegen Null konvergieren.

In beiden Fällen sind die Pole der Systemfunktion und die Eigenwerte der (homogenen) Differential- / Differenzgleichung genau dasselbe! Meiner Meinung nach ist es für mich sinnvoller, Pole als Eigenwerte zu interpretieren, da die Eigenwerte den Stabilitätszustand auf natürlichere Weise erklären.