Verwendung der Lanczos-Methode zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Ich habe eine spärliche und symmetrische Matrix A (nxn). Die Methode Lanczos transformiert die Matrix A in die tridiagonale und symmetrische Matrix T und die Lanczos-Vektoren in der Matrix V. Wie berechne ich von dort aus k kleinste oder größte Eigenwerte und entsprechende Eigenvektoren?

• Für Eigenwerte , nehmen Sie einfach größten oder kleinsten Eigenwert von . Sie sind gute Annäherungen an , vorausgesetzt, die Anzahl der Lanczos-Iterationen ist im Vergleich zu groß .$k$$T$$A$$k$

• Etwas schwieriger ist es, wenn wir auch Eigenvektoren wollen .
  Der einfachste Weg besteht darin, jeden Eigenvektor von mit nach links zu multiplizieren , wobei , wie Sie sagten, die Sammlung von Lanczos-Vektoren ist. Dieser Ansatz ist jedoch für viele Klassen von Matrizen unzureichend, da Rundungsfehler dazu führen, dass die Lanczos-Vektoren ihre Orthogonalität verlieren (1). Ein besserer Weg besteht darin, die Lanczos-Vektoren in durch einen Gram-Schmidt-Schritt neu zu orthogonalisieren . Sei der te Lanczos-Vektor, der berechnet wird, und sei$\mathbf{u}_i$$T$$V$V z i q 1 , q 2 , ⋯ , q i - $V$
  
  $V$
  $\mathbf{z}$$i$$\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \cdots, \mathbf{q}_{i-1}$seien Sie die vorherigen Lanczos-Vektoren. Wir mutieren , um alle Komponenten von , die parallel zu : Es stellt sich heraus, dass wir zweimal neu orthogonalisieren müssen, um die numerische Orthogonalität der Lanczos-Vektoren zu gewährleisten (2).z q 1 , q 2 , ⋯ , q i - 1 z ' = z - i - 1 ∑ j = 1 ( z T q j ) q$\mathbf{z}$$\mathbf{z}$$\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \cdots, \mathbf{q}_{i-1}$

  $$\mathbf{z}' = \mathbf{z} - \sum_{j=1}^{i-1}(\mathbf{z}^{T}\mathbf{q}_j)\mathbf{q}_j$$

Referenz

1. J. Demmel, Angewandte Numerische Lineare Algebra
2. B. Parlett, Das symmetrische Eigenwertproblem