Projizieren des Nullraums von

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Angesichts des Systems in dem A R n × n ist , habe ich gelesen, dass bei Verwendung der Jacobi-Iteration als Löser die Methode nicht konvergiert, wenn b eine Nicht-Null-Komponente im Nullraum von A hat . Wie könnte man also formal sagen, dass die Jacobi-Methode nicht konvergent ist , vorausgesetzt, dass b eine Nicht-Null-Komponente hat, die den Nullraum von A überspannt ? Ich frage mich, wie das mathematisch formalisiert werden könnte, da ein Teil der zum Nullraum orthogonalen Lösung konvergiert.

Ax=b,
ARn×nbAbA

Durch Konjizieren des Nullraums von aus jeder Iteration konvergiert er daher (oder?).A

.........

Ich interessiere mich besonders für den Fall von bei dem L eine symmetrische Laplace-Matrix ist, deren Nullraum von einem Vektor 1 n = [ 1 1 ] TR n überspannt wird und b eine Nullkomponente in hat der Nullraum von L , J b = b , wobei J = I - 1

Lx=b,
L1n=[11]TRnbL
Jb=b,
ist die Zentrierungsmatrix. Bedeutet das, dass bei jeder Jacobi-Iteration der Nullraum vonLprojiziert wird, dh jede Iteration wirdzentriert? Ich frage diesda dann gäbe es keine Notwendigkeit, den Nullraum von Projekt ausLvon Jacobi iteriert (oder, mit anderen Worten, zuzentrierendie iteriert).J=I1n1n1nTLL
usero
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Diese Frage kann auch für Sie relevant sein: scicomp.stackexchange.com/questions/1505/…
Shuhalo
Vielen Dank. Ich habe dort tatsächlich einen Auszug aus meinen Kommentaren gemacht, da die Frage von sich aus Beachtung verdient. Das oben Gesagte wurde jedoch nicht angesprochen (zumindest nicht formalisiert).
Usero
Oh, schade um mich, ich habe nicht überprüft, ob es deine eigene Frage war.
Shuhalo
@JedBrown Ihre Antwort auf scicomp.stackexchange.com/questions/1505/… hat diese Frage inspiriert. Ich denke, es verdient eine unabhängige Prüfung. Ich denke, Sie können die oben genannten Fragen berücksichtigen.
Usero

Antworten:

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AAATATu=0Ax=buTb=uTAx=0bAT

Aber wenn dies der Fall ist, gibt es eine Lösung, und im quadratischen Fall gibt es unendlich viele.

Im Einzelfall würde man das Problem typischerweise als Problem der kleinsten Quadrate lösen, da man nie weiß, ob diese Bedingung erfüllt ist (und es würde sowieso durch Rundung verdorben). Verwenden Sie konjugierte Gradienten für die normalen Gleichungen, um die minimale Normlösung zu finden. Dies erfordert, dass Sie die Multiplikation mit und mit A T codieren . (Wenn nur eine Routine zum Multiplizieren mit A gegeben ist , könnte man stattdessen GMRES mit weniger vorhersehbaren Konvergenzeigenschaften verwenden.)AATA

Arnold Neumaier
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bAAAA
AATA
Ab
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AA=IBx0=bxn+1=b+BxnAu=0uTb=0uTB=uTuTxnist durch Induktion konstant, daher Null. - Aber warum interessiert dich die Jacobi-Methode? Es ist sehr langsam!
Arnold Neumaier
BAdiag(A)cIcR