Implizite Finite-Differenzen-Schemata für Advektionsgleichungen

Es gibt zahlreiche FD-Schemata für die Advektionsgleichung im Web diskutieren. Zum Beispiel hier: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Aber ich habe noch niemanden gesehen, der ein "implizites" Gegenwindschema wie dieses vorschlug: .$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Alle Aufwindschemata, die ich gesehen habe, handelten von Daten des vorherigen Zeitschritts in der räumlichen Ableitung. Was ist der Grund dafür? Wie vergleicht sich das klassische Aufwindschema mit dem oben beschriebenen?

In der rechnergestützten Fluiddynamik ist es durchaus üblich, implizite Schemata zu verwenden, die Ihren Vorschlägen ähneln. Diejenigen, die ich kenne, basieren auf kompakten Finite-Differenzen-Formeln (nicht nur auf dem Ersetzen von durch n + 1 in bestehenden Schemata). Zum Beispiel wurde eines der am häufigsten verwendeten Schemata von Lele 1992 in dieser Arbeit mit> 2500 Zitaten entwickelt. Solche Schemata können so hergestellt werden, dass sie bessere Dispersionseigenschaften aufweisen als typische explizite Schemata.$n$$n+1$

Upwinding ist normalerweise weniger wichtig, wenn implizite Methoden und große Zeitschritte verwendet werden, da die enorme Menge an Diffusion (von Jeremy erwähnt) bedeutet, dass Sie Schocks sowieso nicht auflösen können.

In Bezug auf das von Ihnen vorgeschlagene System:

• Es kann aus einer Method-of-Lines-Diskretisierung unter Verwendung einer Rückwärtsdifferenz im Raum und der Rückwärts- (impliziten) Euler-Methode in der Zeit erhalten werden.
• Es ist bedingungslos stabil, solange (interessanterweise ist es auch für u < 0 stabil, wenn der Zeitschritt nicht zu klein ist !) $u\ge0$$u<0$
• Es ist dissipativer als das traditionelle explizite Aufwindschema.
• Im Gegensatz zum expliziten Aufwindschema erfüllt es nicht die Einheits-CFL-Bedingung (dh es ist nicht genau in dem Fall, dass ). Stattdessen erfüllt es die Anti-Einheits-CFL-Bedingung (es ist genau, wenn $\tau u/h = 1$ ).$\tau u/h = -1$

Es gibt keinen Grund, warum Sie nicht das tun können, was Sie geschrieben haben. Einer der Gründe, warum dies ungewöhnlich ist, ist, dass bei hyperbolischen (Advektions-) Problemen der Bereich der Abhängigkeit endlich ist. Daher ist eine explizite Methode unter dem Gesichtspunkt der Recheneffizienz sinnvoll.

Das implizite Schema, das Sie geschrieben haben, erfordert das Lösen eines linearen Systems, auch wenn Sie dreieckig geschrieben haben und daher ziemlich einfach zu lösen sind. Wenn Sie zu Systemen mit mehreren Dimensionen wechseln, ist das System wahrscheinlich nicht dreieckig, obwohl dies manchmal zu einer korrekten Reihenfolge Ihrer Unbekannten führen kann (siehe zum Beispiel Kwok und Tchelepi, JCP 2007 und Gustafsson und Khalighi, JSC, 2006) ).

In der Hoffnung, große Zeitschritte zu machen, werden manchmal implizite Zeitschritte verwendet, wie Sie geschrieben haben, aber Sie müssen hier vorsichtig sein. Wenn Sie eine implizite Methode verwenden, führen Sie eine große Menge an Diffusion ein, wodurch Sie Ihre Lösung erheblich verschmieren.