Wie man Randbedingungen in Finite-Differenzen-Methoden auferlegt

Ich habe ein Problem, wenn ich die Näherung für die Mittendifferenz höherer Ordnung verwenden möchte:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

für die Poisson-Gleichung

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$ in einer quadratischen Domäne, in der die Randbedingungen sind:

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Wenn ich den Wert von inneren Punkten der Domäne erhalten möchte, hängen einige Punkte unter Berücksichtigung dieser Annäherung von den äußeren Punkten der Grenze ab. Zum Beispiel muss den Wert von ein Punkt, der außerhalb der Grenze liegt. Kann mir bitte jemand in diesem Fall helfen? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference liona
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Ich nehme an, Sie verwenden Dirichlet-Randbedingungen, richtig?

Paul

Bitte geben Sie die Randbedingungen an, die Sie auferlegen möchten.

David Ketcheson

Möglicherweise liegt der Schlüssel in der Verwendung von Randbedingungen, um Einschränkungen zu erhalten, die diese Werte betreffen. Ich kann nicht erweitern, da ich noch nie versucht habe, eine PDE numerisch zu lösen, aber diese Idee funktioniert für ODEs. Kann das jemand bestätigen?

Astrojuanlu

Bei Methoden höherer Ordnung kann es schwierig sein, die Stabilität der Methode zu gewährleisten, indem Geisterzellen auf diese Weise gefüllt werden. Allerdings sind elliptische Probleme meiner Erfahrung nach in der Regel verzeihender, sodass Sie möglicherweise damit durchkommen können.

Jeremy Kozdon

liona, du kannst deine frage bearbeiten und dort die randbedingungen hinzufügen, was viel besser ist, als sie in kommentare zu schreiben.

David Ketcheson

Antworten:

Möglicherweise möchten Sie sich mit den Methoden der endlichen Differenz nach Teilen (SBP) befassen. Ken Mattsson hat viel an diesen Methoden gearbeitet. Guter Ausgangspunkt ist hier (konstante Koeffizienten) und hier (variable Koeffizienten).

Grundsätzlich funktionieren diese Methoden als zentrale Standardmethoden im Innenraum und als Übergang zu einer Seite in der Nähe der Grenze. Ein wichtiger Teil der SBP-Technologie besteht darin, dass der Übergang zu einseitig so erfolgt, dass die Stabilität des Verfahrens für zeitabhängige Probleme auch nach Einbeziehung von Randbedingungen nachgewiesen werden kann. (Dies ist möglich, weil die Operatoren selbst eine Norm "definieren", die die diskrete Integration von Teilen nachahmt.)

Sie sagen, Sie betrachten die Poisson-Gleichung, ich bin mir nicht ganz sicher, wie Randbedingungen bei SBP-Operatoren und elliptischen Gleichungen stabil berücksichtigt werden. Ich habe einen Kollegen, der mit diesen wegen elliptischer Probleme gespielt hat und anscheinend anzeigt, dass es nicht wirklich wichtig ist, was Sie tun.

Jeremy Kozdon
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Es gibt andere Schablonen, mit denen Sie eine hohe Ordnungsgenauigkeit in der Nähe der Grenzpunkte erzielen können. Ihre aktuelle Schablone hat die Form:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Sie können aber auch eine andere Schablone in der Nähe der Grenze verwenden:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

um den Wert bei zu berechnen . Beachten Sie, dass sich die Koeffizienten in der zweiten Schablone von denen in der ersten Formel unterscheiden. $u_{1,1}$

Ebenso können Sie den Wert an der gegenüberliegenden Grenze durch eine ähnliche Formel approximieren.

Paul
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Vielen Dank für Ihre Antwort, aber wie kann ich den Wert bei

berechnen

wenn ich nur eine Art von Differenznäherungsmethode verwende? (dh Kann es richtig sein, dass es verschiedene Approximationstypen an verschiedenen Orten verwendet wird?)

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

liona

Wie kann ich die Koeffizienten erhalten?

Liona

Um zu verstehen, wie man finite Differenzformeln ableitet, ist Kapitel 1 von Leveques Buch eine gute Referenz: faculty.washington.edu/rjl/fdmbook . Es handelt sich um Taylor-Serien und ein bisschen Algebra.

David Ketcheson

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

siehe mein fdm-papier, das du unter meinem namen david edwards jr. im researchgate finden kannst. Bei Fragen stehe ich gerne zur Verfügung.

David

David
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