Was sind Kriterien, um zwischen finiten Differenzen und finiten Elementen zu wählen?

Ich bin es gewohnt, Finite-Differenzen als einen Sonderfall von Finiten Elementen auf einem sehr begrenzten Raster zu betrachten. Was sind nun die Voraussetzungen, um zwischen der Finiten Differenzmethode (FDM) und der Finiten Elementmethode (FEM) als numerische Methode zu wählen?

Auf der Seite der Finite-Differenzen-Methode (FDM) kann man zählen, dass sie konzeptionell einfacher und einfacher zu implementieren sind als die Finite-Elemente-Methode (FEM). FEM haben den Vorteil, dass sie sehr flexibel sind, z. B. können die Gitter sehr ungleichmäßig sein und die Domänen können eine beliebige Form haben.

Das einzige Beispiel, von dem ich weiß, dass FDM FEM überlegen ist, ist Celia, Bouloutas, Zarba , wo der Vorteil auf der FD-Methode beruht, die eine andere Diskretisierung der Zeitableitung verwendet, die jedoch für die Finite-Elemente-Methode festgelegt werden könnte .

Es ist möglich, die spezifischsten Finite-Differenzen-Methoden als Petrov-Galerkin-Finite-Elemente-Methoden mit einer Auswahl an lokaler Rekonstruktion und Quadratur zu schreiben, und es kann auch gezeigt werden, dass die meisten Finite-Elemente-Methoden einer Finite-Differenzen-Methode algebraisch äquivalent sind. Daher sollten wir eine Methode auswählen, die darauf basiert, welches Analyserahmenwerk wir verwenden möchten, welche Terminologie wir mögen, welches System für die Erweiterbarkeit wir mögen und wie wir Software strukturieren möchten. Die folgenden Verallgemeinerungen gelten für die große Mehrheit der Variationen in der praktischen Anwendung, aber viele Punkte können umgangen werden.

Endlicher Unterschied

Vorteile

• Effiziente quadraturfreie Implementierung
• Seitenverhältnisunabhängigkeit und lokale Erhaltung für bestimmte Schemata (z. B. MAC für inkompressiblen Fluss)
• robuste nichtlineare Transportmethoden (zB ENO / WENO)
• M-Matrix für einige Probleme
• diskretes Maximalprinzip für einige Probleme (zB mimetische endliche Differenzen)
• Diagonale (normalerweise Identität) Massenmatrix
• kostengünstiger Knotenrest ermöglicht effizientes nichtlineares Multigrid (FAS)
• Zellweise Vanka-Glätter ergeben effiziente matrixfreie Glätter für inkompressiblen Fluss

Nachteile

• schwieriger zu implementierende "Physik"
• Gestaffelte Gitter sind manchmal recht technisch
• höher als die zweite Ordnung bei unstrukturierten Gittern ist schwierig
• Keine Galerkin-Orthogonalität, daher ist die Konvergenz möglicherweise schwieriger zu beweisen
• Keine Galerkin-Methode, daher werden Diskretisierung und Adjoints nicht ausgetauscht (relevant für Optimierungs- und Inversprobleme).
• Selbstadjunkte Kontinuumsprobleme führen oft zu unsymmetrischen Matrizen
• Die Lösung ist nur punktuell definiert, so dass die Rekonstruktion an beliebigen Stellen nicht eindeutig definiert ist
• Die Implementierung von Randbedingungen ist in der Regel kompliziert
• diskontinuierliche Koeffizienten bilden gewöhnlich die Methode erster Ordnung
• Schablone wächst, wenn Physik "Kreuzterme" enthält

Finite Elemente

Vorteile

• Galerkin-Orthogonalität (die diskrete Lösung von Zwangsstörungen ist eine Konstante der besten Lösung im Raum)
• einfache geometrische Flexibilität
• diskontinuierliches Galerkin bietet robusten Transportalgorithmus, beliebige Reihenfolge auf unstrukturierten Gittern
• Die Ungleichung der Zellentropie, die die Stabilität von garantiert, ist unabhängig von Maschenweite, Dimension, Genauigkeitsreihenfolge und Vorhandensein diskontinuierlicher Lösungen, ohne dass nichtlineare Begrenzer erforderlich sind$L^2$
• einfache Implementierung von Randbedingungen
• kann die Erhaltungserklärung durch Auswahl des Testraums auswählen
• Diskretisierung und Pendelverkehr (für Galerkin-Methoden)
• elegante Grundlage in der Funktionsanalyse
• Bei hoher Ordnung können lokale Kernel die Tensorproduktstruktur ausnutzen, die bei FD fehlt
• Lobatto-Quadratur kann Methoden energiesparend machen (unter der Annahme eines symplektischen Zeitintegrators)
• Hohe Ordnungsgenauigkeit auch bei diskontinuierlichen Koeffizienten, solange Sie sich an Grenzen ausrichten können
• diskontinuierliche Koeffizienten innerhalb von Elementen können mit XFEM berücksichtigt werden
• einfach zu handhaben mehrere inf-sup bedingungen

Nachteile

• Viele Elemente haben Probleme mit einem hohen Seitenverhältnis
• kontinuierliche FEM hat Probleme mit dem Transport (SUPG ist diffusiv und oszillierend)
• DG hat normalerweise mehr Freiheitsgrade für die gleiche Genauigkeit (obwohl HDG viel besser ist)
• kontinuierliche FEM bietet keine billigen Knotenprobleme, daher haben nichtlineare Glätter viel schlechtere Konstanten
• in der Regel mehr Nonzeros in zusammengesetzten Matrizen
• Sie müssen zwischen einer konsistenten Massenmatrix (einige nette Eigenschaften, aber mit vollständiger Inversion, die eine implizite Lösung pro Zeitschritt erfordert) und einer konzentrierten Massenmatrix wählen.

Diese Frage ist möglicherweise zu weit gefasst, um eine aussagekräftige Antwort zu erhalten. Die meisten Personen, die antworten, sind nur mit einer Teilmenge aller Arten von FD- und FE-Diskretisierungen vertraut, die verwendet werden können. Beachten Sie, dass sowohl FD als auch FE

• kann in strukturierten oder unstrukturierten Gittern implementiert werden (in diesem Artikel finden Sie nur ein Beispiel für eine FD-Methode in einem unstrukturierten Gitter)
• kann beliebig hochgenau erweitert werden (in vielerlei Hinsicht!)
• kann verwendet werden, um räumlich und / oder zeitlich zu diskretisieren , möglicherweise in Kombination
• Verwenden Sie entweder lokale oder globale Basisfunktionen (letztere führen zu spektralen Methoden vom Typ FD und FE).
• kann auf einem kontinuierlichen oder diskontinuierlichen Funktionsraum basieren
• kann räumlich explizit oder implizit sein
• kann zeitlich explizit oder implizit sein

Du hast die Idee. Natürlich können in einer bestimmten Disziplin die FD- und FE-Methoden, die Menschen üblicherweise implementieren und anwenden, sehr unterschiedliche Merkmale aufweisen. Dies ist jedoch normalerweise nicht auf irgendwelche inhärenten Einschränkungen der beiden Diskretisierungsansätze zurückzuführen.

In Bezug auf FD-Schemata willkürlich höherer Ordnung: Die Koeffizienten von FD-Schemata höherer Ordnung können für jede Ordnung automatisch erzeugt werden; siehe zum Beispiel das Buch von LeVeque . Spektrale Kollokationsmethoden, die FD-Methoden sind, konvergieren schneller als jede Potenz des Maschenabstands. siehe zum Beispiel das Buch von Trefethen .

Vorteile von Finiten Elementen (FE):

• Variationsmethode (zB Energien fallen immer mit zunehmendem "p" für die Schrödinger-Gleichung, was für FD nicht gilt)
• genau bei hohen Aufträgen (p = 50 mehr mehr)
• Einmal implementiert, ist es einfach, eine systematische Konvergenz sowohl in "p" als auch in "h" durchzuführen (im Gegensatz zu speziellen FD-Schemata für jede Bestellung).

Vorteile endlicher Differenzen (FD):

• einfacher zu implementieren für niedrigere aufträge
• möglicherweise schneller als FE für geringere Genauigkeiten

Manchmal sagen die Leute "endliche Unterschiede", um einen Integrator für ODE wie Runge-Kutta oder die Adams-Methode zu bezeichnen. In diesem Fall bietet FD einen weiteren Vorteil:

• Es ist möglich, nichtlineare ODEs direkt zu lösen

während FE eine nichtlineare Iteration wie die Newton-Methode benötigt.

In mehreren netten Antworten wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Vorteile von Finite-Elemente-Methoden flexibel und leistungsstark sind. Hier möchte ich einen weiteren Vorteil von FEM aus der Sicht des Sobolev-Raums und der Differentialgeometrie nennen: Die Möglichkeit, dass der Finite-Elemente-Raum die physikalische Kontinuitätsbedingung von erbt Sobolev-Räume, in denen die wahre Lösung liegt.

Zum Beispiel Raviart-Thomas-Flächenelement für ebene Elastizität und gemischtes Diffusionsverfahren; Nédélec Kantenelement für rechnergestützte Elektromagnetik.

Normalerweise ist die Lösung einer PDE, die eine Differential- Form ist, die im "Energie- -integrierbaren" Raum liegt: wobei die äußere Ableitung ist, und wir könnten die de Rham-Kohomologie um diesen Raum bauen Das heißt, wir könnten eine exakte de Rham-Sequenz wie die folgende im 3D-Raum konstruieren:$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

Der Bereich des Operators ist der Nullraum des nächsten Operators, und es gibt viele nette Eigenschaften dazu. Wenn wir einen Finite-Elemente-Raum erstellen könnten, um diese exakte Folge von de Rham zu erben, dann würde die Galerkin-Methode, die auf diesem Finite-Elemente-Raum basiert, dies tun stabil sein und sich der tatsächlichen Lösung annähern. Und wir könnten die Stabilität und die Approximationseigenschaft des Interpolationsoperators einfach durch das Pendeldiagramm aus der de Rham-Sequenz erhalten, und wir könnten die a posteriori-Fehlerschätzung und das adaptive Netzverfeinerungsverfahren auf dieser Sequenz aufbauen.

Weitere Informationen finden Sie in Douglas Arnolds Artikel in Acta Numerica: " Finite-Elemente-Außenrechnung, homologische Techniken und Anwendungen " sowie in einer Folie, in der die Idee kurz vorgestellt wird

Es ist wichtig, zwischen räumlichen und zeitlichen Schemata zu unterscheiden.

Finite Elemente verwenden häufig finite Differenzen, um zeitliche Terme (z. B. explizite Euler-, implizite-, Crank-Nicholson- oder Runga Kutta-Terme für die transiente Diffusion) und finite Elemente für die räumliche Diskretisierung zu integrieren.

Finite Elemente eignen sich gut für unregelmäßige Maschen. Sie können auf Variationsprinzipien beruhen, werden jedoch in der Regel nach der Methode der gewichteten Residuen verallgemeinert. Mit Lagrange-Multiplikatoren lassen sich leicht Bibliotheken von Elementen entwickeln, die unterschiedliche Polynomreihenfolgen verwenden und Einschränkungen wie Inkomprimierbarkeit erzwingen.

Beide Formulierungen sind das Mittel zum Zweck: eine Differentialgleichung in Form von Gleichungssystemen und linearer Algebra auszudrücken.

Aussagen über die Geschwindigkeit einer Methode gegenüber einer anderen müssen durch Beschreibung des Algorithmus qualifiziert werden. Beispielsweise können mechanische Gussprobleme als hyperbolische Dynamikprobleme in einigen Fällen schnellere Ergebnisse liefern, da sie die Matrixzerlegung durch Multiplikation und Addition ersetzen.

Ich gebe zu, dass ich viel mehr über Finite-Elemente-Methoden als über finite Differenzen weiß. FEM ist in kommerziellen Paketen erhältlich und wird in Industrie und Hochschulen häufig zur Lösung von Problemen in Bezug auf Festkörpermechanik und Wärmeübertragung eingesetzt. Ich glaube, dass endliche Differenzen oder Ansätze mit endlichem Volumen in der Strömungsmechanik verwendet werden.