Warum ist der lokale Schutz bei der Lösung von PDEs wichtig?

Ingenieure bestehen häufig darauf, lokal konservative Methoden wie das endliche Volumen, die konservative endliche Differenz oder diskontinuierliche Galerkin-Methoden zum Lösen von PDEs zu verwenden.

Was kann schief gehen, wenn eine Methode verwendet wird, die lokal nicht konservativ ist?

Okay, lokale Erhaltung ist wichtig für hyperbolische PDEs. Was ist mit elliptischen PDEs?

In der Lösung von nichtlinearen hyperbolischen PDEs treten Diskontinuitäten ("Schocks") auf, selbst wenn der Anfangszustand glatt ist. Bei Diskontinuitäten kann der Lösungsbegriff nur im schwachen Sinne definiert werden. Die numerische Geschwindigkeit eines Schocks hängt von den korrekten Rankine-Hugoniot-Bedingungen ab, die auferlegt werden, was wiederum von der numerischen Erfüllung des integralen Erhaltungsgesetzes vor Ort abhängt. Das Lax-Wendroff-Theorem garantiert, dass eine konvergente numerische Methode nur dann zu einer schwachen Lösung des hyperbolischen Erhaltungsgesetzes konvergiert, wenn die Methode konservativ ist.

Sie müssen nicht nur eine konservative Methode verwenden, sondern auch eine Methode, die die richtigen Mengen konserviert . Ein schönes Beispiel, das dies erklärt, finden Sie in LeVeques "Finite-Volumen-Methoden für hyperbolische Probleme", Abschnitt 11.12 und Abschnitt 12.9. Wenn Sie die Burger-Gleichung diskretisieren

über die konsequente Diskretisierung

Sie werden feststellen, dass sich die Stöße mit der falschen Geschwindigkeit bewegen, egal wie sehr Sie das Raster verfeinern. Das heißt, die numerische Lösung konvergiert nicht zur wahren Lösung . Wenn Sie stattdessen die konservative Diskretisierung verwenden

Auf der Grundlage der Flussdifferenzierung bewegen sich Schocks mit der richtigen Geschwindigkeit (dies ist der Durchschnitt der Zustände links und rechts vom Schock für diese Gleichung). Dieses Beispiel wird in diesem von mir geschriebenen IPython-Notizbuch veranschaulicht .

Für lineare hyperbolische PDEs und für andere Arten von PDEs, die typischerweise glatte Lösungen aufweisen, ist die lokale Konservierung kein notwendiger Bestandteil für die Konvergenz. Es kann jedoch aus anderen Gründen wichtig sein (z. B. wenn die Gesamtmasse eine interessierende Größe ist).

Ich denke, eine Antwort auf Ihre Frage ist, dass bestimmte Gemeinschaften einfach immer konservative Schemata verwendet haben und es so zu einem Teil der "Art und Weise, wie es gemacht wird" geworden ist. Man mag sich streiten, ob das der beste Weg ist, aber das ist ungefähr so ​​fruchtbar wie die Briten zu bitten, auf der rechten Seite zu fahren, weil es einfach bequemer wäre, nur auf der Standardseite zu fahren.

Oft stellen die zu lösenden Gleichungen ein physikalisches Erhaltungsgesetz dar. Zum Beispiel sind die Euler-Gleichungen für die Fluiddynamik Darstellungen der Erhaltung von Masse, Impuls und Energie. Da die zugrunde liegende Realität, die wir modellieren, konservativ ist, ist es vorteilhaft, Methoden zu wählen, die auch konservativ sind

Ähnliches können Sie auch bei elektromagnetischen Feldern beobachten. Maxwells Gesetze beinhalten die divergenzfreie Bedingung für das Magnetfeld, aber diese Gleichung wird nicht immer für die Entwicklung der Felder verwendet. Eine Methode, die diesen Zustand beibehält (zum Beispiel: eingeschränkter Transport), hilft dabei, die Physik der Realität anzupassen.

Edit: @hardmath wies darauf hin, dass ich vergessen habe, den Teil "Was könnte schief gehen" der Frage anzusprechen (Danke!). Die Frage bezieht sich speziell auf Ingenieure, aber ich werde einige Beispiele aus meinem eigenen Fachgebiet (Astrophysik) nennen und hoffen, dass sie dazu beitragen, die Ideen genug zu veranschaulichen, um zu verallgemeinern, was in einer technischen Anwendung schief gehen könnte.

(1) Wenn Sie eine Supernova simulieren, haben Sie eine Fluiddynamik, die mit einem nuklearen Reaktionsnetzwerk (und anderer Physik) verbunden ist, aber das werden wir ignorieren. Viele Kernreaktionen hängen stark von der Temperatur ab, die (in erster Näherung) ein Maß für die Energie ist. Wenn Sie keine Energie sparen, ist Ihre Temperatur entweder zu hoch (in diesem Fall laufen Ihre Reaktionen viel zu schnell und Sie bringen viel mehr Energie ein und Sie bekommen einen Ausreißer, der nicht existieren sollte) oder zu niedrig (in diesem Fall Ihre Reaktionen) viel zu langsam laufen und man kann keine Supernova antreiben).

(2) Bei der Simulation von Doppelsternen müssen Sie die Impulsgleichung neu formulieren, um den Drehimpuls zu erhalten. Wenn Sie den Drehimpuls nicht erhalten, können sich Ihre Sterne nicht richtig umkreisen. Wenn sie einen zusätzlichen Drehimpuls erhalten, trennen sie sich und hören auf, richtig zu interagieren. Wenn der Drehimpuls nachlässt, prallen sie aufeinander. Ähnliche Probleme treten bei der Simulation von Sternscheiben auf. Die Erhaltung des (linearen) Impulses ist wünschenswert, weil die Gesetze der Physik den linearen Impuls erhalten, aber manchmal muss man den linearen Impuls aufgeben und den Drehimpuls erhalten, weil dies für das vorliegende Problem wichtiger ist.

Ich muss zugeben, dass ich trotz des Hinweises auf den divergenzfreien Zustand von Magnetfeldern dort nicht so gut informiert bin. Wenn der divergenzfreie Zustand nicht aufrechterhalten wird, können magnetische Monopole entstehen (für die wir derzeit keine Beweise haben), aber ich habe keine guten Beispiele für Probleme, die bei einer Simulation auftreten könnten.

Heute stoße ich auf eine Dissertation: Das EMAC-Schema für Navier-Stokes-Simulationen und die Anwendung, um an Bluff-Körpern vorbeizufließen. Beachten Sie , dass Abschnitt 1.2 der Arbeit die Frage von OP zumindest teilweise beantwortet. Die relevanten Teile sind:

Es ist weit verbreitet in der Computational Fluid Dynamics (angenommen , CFD ) Gemeinschaft , dass die mehr Physik in die Diskretisierung gebaut wird, desto genauer und stabiler die diskreten Lösungen sind, vor allem über längere Zeitintervalle. N. Phillips konstruierte 1959 [42] ein Beispiel für die barotrope nichtlineare Vorticity-Gleichung (unter Verwendung eines Finite-Differenzen-Schemas), bei der die Langzeitintegration der Konvektionsterme zu einem Misserfolg der numerischen Simulationen für einen beliebigen Zeitschritt führt. In [4] Arakawa hat gezeigt, dass man bei der Integration über einen langen Zeitraum Instabilitätsprobleme vermeiden kann, wenn kinetische Energie und Enstrophie (in 2D) durch ein Diskretisierungsschema erhalten bleiben. … Im Jahr 2004 entwickelten Liu und Wang, die Helizität und Energie für dreidimensionale Strömungen erhalten. In [35] präsentieren sie ein energie- und helizitätserhaltendes Schema für axialsymmetrische Strömungen. Sie zeigen auch, dass ihr duales Konservierungsschema die Notwendigkeit einer großen nichtphysikalischen numerischen Viskosität beseitigt. …

… Es ist seit Jahrzehnten in der CFD bekannt, dass die Vorhersage umso genauer ist, je mehr physikalische Größen durch ein Finite-Elemente-Schema konserviert werden, insbesondere über die langen Zeitintervalle. Somit sind die Lösungen, die durch ein physikalisch genaueres Schema bereitgestellt werden, auch physikalisch relevanter. Wenn man sich ein vollständig aufgelöstes Netz und einen unendlich kleinen Zeitschritt leisten könnte, würden vermutlich alle üblicherweise verwendeten Finite-Elemente-Schemata die gleichen numerischen Lösungen liefern. In der Praxis kann man sich jedoch ein vollständig gelöstes Netz in 3D-Simulationen nicht leisten, insbesondere bei zeitabhängigen Problemen. Zum Beispiel benötigen wir in Kapitel 2 50-60.000 Zeitschritte, wobei für jeden Zeitschritt ein spärliches lineares System mit 4 Millionen Unbekannten gelöst werden muss. Dies erforderte 2-3 Wochen Rechenzeit mit hochparallelem Code auf 5 Knoten mit jeweils 24 Kernen.