Warum ist die Zeitdimension besonders?

Generell habe ich numerische Analysten gehört, die diese Meinung vertreten

„Natürlich, mathematisch gesprochen, die Zeit ist nur eine andere Dimension, aber immer noch, die Zeit ist besondere“

Wie kann man das rechtfertigen? Inwiefern ist Zeit etwas Besonderes für die Computerwissenschaft?

Warum ziehen wir es außerdem so oft vor, endliche Differenzen (die zu "Zeitschritten" führen) für die Zeitdimension zu verwenden, während wir endliche Differenzen, finite Elemente, Spektralmethoden, ... für die räumlichen Dimensionen anwenden? Ein möglicher Grund ist, dass wir dazu neigen, einen IVP in der Zeitdimension und einen BVP in den räumlichen Dimensionen zu haben. Aber ich denke nicht, dass dies vollständig gerechtfertigt ist.

Kausalität bedeutet, dass Informationen nur zeitlich vorwärts fließen und Algorithmen entwickelt werden sollten, um diese Tatsache auszunutzen. Zeitschrittschemata tun dies, wohingegen Global-in-Time-Spektralmethoden oder andere Ideen dies nicht tun. Die Frage ist natürlich, warum jeder darauf besteht, diese Tatsache auszunutzen - aber das ist leicht zu verstehen: Wenn Ihr räumliches Problem bereits eine Million Unbekannter aufweist und Sie 1000 Zeitschritte ausführen müssen, haben Sie auf einer typischen Maschine heute genügend Ressourcen, um diese zu lösen Das räumliche Problem ist für sich genommen ein Zeitschritt nach dem anderen, aber Sie haben nicht genug Ressourcen, um ein gekoppeltes Problem mit Unbekannten zu lösen .$10^9$

Die Situation unterscheidet sich nicht wesentlich von der bei der räumlichen Diskretisierung von Transportphänomenen. Sicher, Sie können eine reine 1d-Advektionsgleichung mit einem global gekoppelten Ansatz diskretisieren. Wenn Sie jedoch Wert auf Effizienz legen, ist der mit Abstand beste Ansatz die Verwendung eines Downstream-Sweeps, der Informationen vom Zufluss zum Abflussteil der Domäne überträgt. Das ist genau das, was Zeitsprungschemata in der Zeit tun.

Ähnlich der in seinem Beitrag erwähnten Kausalität Wolfgang, konnten wir den Grund sehen, warum die Zeitdimension aus Minkowski-Raum-Zeit-Sicht besonders ist:$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Die -dimensionale Raumzeit hat ein inneres Produkt definiert als wenn und zwei 1- Form in Minkowski-Raumzeit: , ist in ähnlicher Weise definiert, die Intuition hinter der Definition eines inneren Produkts (oder besser gesagt, Metrik) besteht darin, die Idee der absoluten Lichtgeschwindigkeit so aufzustellen, dass zwei verschiedene Punkte (Ereignisse) in der Raumzeit null Abstand haben (dies geschieht zur "gleichen Zeit", als würden wir die Bewegung von Galaxien beobachten, die Milliarden von Lichtjahren entfernt sind, als ob sie sich bewegen im Moment), wenn sie sich auf demselben Lichtkegel befinden.$(3+1)$

Wie Sie sehen können, ist dieses innere Produkt aufgrund des Vorhandenseins der durch die Lichtgeschwindigkeit skalierten Zeitdimension nicht eindeutig. Daher können wir bei der Behandlung eines Problems bezüglich einer sich in der Raumzeit ausbreitenden Größe die Sätze in 3 nicht einfach anwenden -dimensionale euklidische Metrik zu einer -dimensionalen Raumzeit. Man denke nur an dreidimensionale elliptische PDE-Theorien und ihre entsprechenden numerischen Methoden, die sich drastisch von den hyperbolischen PDE-Theorien unterscheiden. $c$$(3+1)$

Vielleicht nicht zum Thema gehörend, aber ein weiterer Hauptunterschied zwischen Raum und Raumzeit (elliptisch und hyperbolisch) ist, dass die meisten elliptischen Gleichungen das Gleichgewicht und die Elliptizität als "schöne" Regelmäßigkeit modellieren, während es bei hyperbolischen Problemen alle Arten von Diskontinuitäten gibt (Schock, Verdünnung, etc).

BEARBEITEN: Ich weiß nicht, dass es einen speziellen Artikel über den Unterschied gibt, außer Ihnen die Definition zu geben, basierend auf dem, was ich zuvor gelernt habe Die Grenzen des interessierenden Bereichs sind "glatt". Dies liegt an der Elliptizität (oder besser gesagt an der positiven Eigenschaft) des maßgeblichen Differentialoperators. Diese Art von Gleichungen führt uns zu einem sehr intuitiven Ansatz vom Typ Galerkin (Multiplikation einer Testfunktion und Integration) Teile) funktioniert ein typisches kontinuierliches finites Element gut. Ähnliches gilt für parabolische Gleichungen wie die Wärmegleichung, bei der es sich im Wesentlichen um eine elliptische Gleichung handelt, die eine ähnliche "Glättung "seigenschaft aufweist. Eine anfängliche scharfe Ecke wird mit der Zeit geglättet.

Ein hyperbolisches Problem, das normalerweise aus einem Erhaltungsgesetz abgeleitet wird, ist "konservativ" oder "dispersiv". Beispielsweise wird durch die lineare Advektionsgleichung, die die bestimmten Mengenflüsse mit einem Vektorfeld beschreibt, beibehalten, wie diese bestimmte Menge anfangs ist, nur wenn sie sich räumlich entlang dieses Vektorfelds bewegt, breiten sich die Diskontinuitäten aus. Schrödinger-Gleichung, eine andere hyperbolische Gleichung, ist jedoch dispersiv, es ist die Ausbreitung einer komplexen Größe, ein nicht schwingender Ausgangszustand wird mit der Zeit zu unterschiedlichen Schwingungswellenpaketen.

Wie Sie bereits erwähnt haben, kann man sich vorstellen, dass die Menge in den Zeitfeldern mit einer bestimmten Geschwindigkeit als Kausalität "fließt". Ähnlich wie bei der linearen Advektionsgleichung BVP müssen wir nur die Zuflussgrenzbedingung auferlegen. Das heißt, wie die Menge ist, wenn sie in den Bereich von Interesse fließt, und die Lösung würde uns sagen, wie die Menge ist, wenn sie herausfließt, eine Idee, die jeder Methode sehr ähnlich ist, die Zeitschritte verwendet. Das Lösen einer 2D Advektionsgleichung im Raum ist wie das Lösen eines einseitigen Ausbreitungsproblems in der Raumzeit. Für numerische Schemata können Sie die Raumzeit-FEM googeln.

Während es einige Ausnahmen gibt (z. B. vollständig diskrete Finite-Elemente-Methoden), impliziert die zeitliche Diskretisierung im Allgemeinen eine inhärent sequenzielle Abhängigkeit des Informationsflusses. Diese Abhängigkeit schränkt semi-diskrete Algorithmen (BVP im Raum, IVP in der Zeit) ein, um Lösungen für Teilprobleme in sequentieller Weise zu berechnen. Diese Diskretisierung wird normalerweise wegen ihrer Einfachheit bevorzugt und weil sie dem Analytiker viele gut entwickelte Algorithmen für eine höhere Genauigkeit sowohl in räumlicher als auch in zeitlicher Hinsicht bietet.

Es ist möglich (und einfacher), auch finite Unterschiede in räumlichen Dimensionen zu verwenden, aber Finite-Elemente-Methoden bieten eine einfachere Flexibilität in Bezug auf den Typ des interessierenden Bereichs (z. B. nicht reguläre Formen) als Finite-Differenzen-Methoden. Eine "gute" Wahl der räumlichen Diskretisierung ist oft sehr problemabhängig.