Wenn man von der starken Form einer PDE zur FEM-Form übergeht, sollte man dies immer tun, indem man zuerst die Variationsform angibt. Dazu multiplizieren Sie die starke Form mit einem Element in einem bestimmten Raum (Sobolev) und integrieren sie über Ihre Region. Das kann ich akzeptieren. Was ich nicht verstehe, ist, warum man auch die Greensche Formel verwenden muss (ein- oder mehrmals).
Ich habe meistens mit der Poissonschen Gleichung gearbeitet, wenn wir das als Beispiel nehmen (mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen), d. H
dann wird behauptet, dass der richtige Weg zur Bildung der Variationsform ist
Aber was hindert mich daran, den Ausdruck in der ersten Zeile zu verwenden, ist das nicht auch eine Variationsform, mit der man eine FEM-Form erhalten kann? Entspricht es nicht den bilinearen und linearen Formen und ? Ist das Problem hier, dass ich Probleme habe, wenn ich lineare Basisfunktionen (Formfunktionen) verwende, weil meine Steifheitsmatrix die Nullmatrix ist (nicht invertierbar)? Was aber, wenn ich nichtlineare Formfunktionen verwende? Muss ich immer noch Green's Formel verwenden? Wenn ich nicht muss: ist es ratsam? Wenn nicht, habe ich dann eine Variations-aber-nicht-schwache Formulierung?l ( v ) = ( f , v )
Angenommen, ich habe eine PDE mit Derivaten höherer Ordnung. Bedeutet das, dass es viele mögliche Variationsformen gibt, je nachdem, wie ich die Greensche Formel verwende? Und alle führen zu (unterschiedlichen) FEM-Annäherungen?
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Kurze Antwort:
Nein, für bestimmte FEMs muss keine Integration durchgeführt werden. Aber in deinem Fall musst du das tun.
Lange Antwort:
Angenommen, ist die Finite-Elemente-Lösung. Wenn Sie sich abschnittsweise lineare Polynom als Basis, dann nehmen Δ auf sie geben Ihnen einen Auftrag 1 Verteilung (man denke unter Ableitung einer Funktion Heaviside Schritt) und die Integration von - Δ u h ∈ H - 1 mit Multiplikation v wird nur Sinnvoll , wenn Sie es als Dualitätspaar und nicht als L 2 -inneres Produkt betrachten. Sie werden weder eine Null - Matrix erhalten, der Riesz Darstellungssatz sagt , dass es ein Element in φ - Δ u h ∈ H 1 0uh Δ −Δuh∈H−1 v L2 φ−Δuh∈H10 Charakterisierung können die Dualität Paar durch das innere Produkt in :
⟨ - Δ u h , v ⟩ H - 1 , H 1 0 = ∫ & OHgr; weiterempfehlen ∇ & phiv; - Δ u h ⋅ weiterempfehlen ∇ v ⏟ Skalarprodukts in H 1 .
Durch die Integration von Teilen Element für Element für u h wird dieses Dualitätspaar beleuchtet: Für T ist ein Element in dieser Triangulation
∫ Ω ∇ u hH1
Für bestimmte FEMs müssen Sie die Integration nicht nach Teilen durchführen. Zum Beispiel das kleinste quadratische finite Element. Schreiben Sie die PDE zweiter Ordnung als System erster Ordnung: Dann wollen Sie die Funktion der kleinsten Quadrate minimieren: dem gleichen Prinzip wie das Ritz-Galerkin-Funktional, die Finite-Elemente-Formel zur Minimierung des obigen Funktional in a Der Finite-Elemente-Raum erfordert keine Teilintegration.J (v)=‖σ+∇u ‖ 2 L 2 Ω +‖∇⋅σ-f ‖ 2 L 2 Ω ,
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Nichts hindert Sie daran, dies technisch zu tun, aber wenn Sie Teile integrieren, erhalten Sie mehr Flexibilität im Lösungsraum, da diese keine Regularität aufweisen müssen (erforderlich für die Nicht-IBP-Formulierung). Die linearen Elemente, die Sie vorschlagen, weisen im Allgemeinen eine erzwungene Kontinuität zwischen Elementen auf und können daher nicht in . Die IBP-Formulierung ist außerdem symmetrisch, was auch einige seiner eigenen Vorteile hat.H 2H2 H2
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Ausgezeichnete Antworten bereits auf dieser Seite, aber es gibt noch einen (kleinen) fehlenden Punkt.
Das OP fragte:
Bei Neumann-Randbedingungen ist die ( korrekte ) Integration nach Teilen wichtig. Tatsächlich berücksichtigen Sie nach ibp das Neumann bc in Ihrer Variationsformulierung. Die Form des Neumann bc hängt davon ab, wie Sie nach Teilen integrieren, vgl. Diese Antwort auf die Integration von Teilen in lineare Elastizität. Selbst für elliptische PDEs zweiter Ordnung muss die Integration durch Teile auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden, um eine Variationsformulierung zu erhalten, die für Neumann- oder gemischte Randbedingungen gültig ist. (Und das natürlich unabhängig davon, dass Sie von FEM diskretisieren).
In der mathematischen Physik, in der Neumann bc eine genau definierte Bedeutung hat (Wärmefluss, Spannung ...), ist die Integration nach Teilen wichtig, um die korrekte Interpretation der Ergebnisse zu gewährleisten. Dies gilt auch für homogene Dirichlet-Bedingungen und FEM, da bei Verwendung einer Lagrange-Multiplikatormethode zum Auferlegen der bc-Werte die Multiplikatoren zu physikalischen Größen werden, wie konzentrierte Flüsse oder Kräfte.
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