Meine Herausforderung besteht darin, das folgende Gleichungssystem zu lösen, das die Gasverbrennung in porösen Medien beschreibt:
1) Kontinuität
2) Darcy-Gesetz (Impuls)
3) Zustandsgleichung, beachten Sie die variable Temperatur
4) Energiegleichung für das Gas.
5) Energiegleichung für die feste Phase
Ich habe den Fall, in dem Geschwindigkeit, Druck und Dichte als konstant angenommen werden, erfolgreich beschrieben und gelöst, dh die ersten drei Gleichungen fallen aus. Die Lösung des gasodynamischen Teils erwies sich jedoch als Problem.
Das Anwenden eines Aufwindschemas auf 1) (wie hier vorgeschlagen wurde: Ein guter endlicher Unterschied für die Kontinuitätsgleichung ) ergibt ein wirklich strenges Stabilitätskriterium für den Zeitschritt. Ich bin gezwungen, es so niedrig wie 1e-6 mit einem 1e-2-Raum zu haben Zeitschritt, auch wenn ich den isothermen Fall nehme, wobei die Verbrennung vorerst außer Acht gelassen wird. Und ich brauche mindestens 1e-3, um die Energiegleichungen aufzulösen.
Die ersten drei Gleichungen können auch miteinander verbunden werden, um sich zu bilden
6)
aber nur im isothermen Fall , so dass das wenig hilft.
Ich weiß, dass die Leute 1) -5) und 6) schon einmal gelöst haben, aber ich konnte keine Beschreibung der von ihnen verwendeten Schemata finden. Ich habe versucht, Artikel über kompressible Strömungen in porösen Medien speziell zu suchen, aber alle befassen sich mit viel komplexeren Modellen (mehrphasige, verformbare Feststoffe usw.) und verwenden sehr komplizierte Lösungsmethoden.
Könnte jemand ein gutes FD-Schema für (1) - (3) vorschlagen oder sagen, wie die Stabilitätskriterien gebildet werden, wenn man nur Aufwind verwendet, wie ich es getan habe?
Antworten:
Für explizit gelöste hyperbolische Probleme müssen Sie eine CFL-Bedingung (Courant, Friedrichs, Lewy) erfüllen. Dies stellt sicher, dass das Schema nur Daten aus dem Abhängigkeitsbereich für die Differentialgleichung verwendet. Weitere Informationen zur CFL-Bedingung und warum dies erforderlich ist, finden Sie z. B. S. 215-218 in Finite-Differenzen-Methoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen von LeVeque. Auch in diesem Kapitel werden einige alternative Methoden vorgestellt, aber die Stabilitätskriterien sind noch vorhanden. Die CFL-Bedingung für die Aufwindmethode in 1D ist .uΔtΔx<1
Bei diskontinuierlichen Galerkin (DG) -Methoden wird die Verwendung von Runge-Kutta-Methoden zur Erhaltung der starken Stabilität (SSP) immer beliebter. Obwohl es sich um explizite Methoden handelt, können im Gegensatz zu einer einfachen Forward-Euler-Methode häufig mehrere Vielfache der üblichen Courant-Nummer verwendet werden. Das bedeutet, dass Sie längere Zeitschritte ausführen können, jedoch zu höheren Kosten pro Zeitschritt. Es ist möglicherweise möglich, SSPRK-Methoden an Ihr Problem anzupassen, aber ich habe dies nur für DG-Methoden gesehen, und mein Verständnis ihrer Anwendbarkeit ist begrenzt.
Es könnte möglich sein, eine implizite Zeitmethode zu verwenden, da sie unbedingt stabil sind. Um die Genauigkeit auf einem akzeptablen Niveau zu halten, können Sie die ursprüngliche Einschränkung des Zeitschritts wiederherstellen. LeVeques Buch scheint darauf hinzudeuten, dass die Verwendung von Rückwärts-Euler oder einer Adams-Methode für die Zeitdiskretisierung und die zentrale Differenzierung für die räumliche Ableitung funktionieren könnte.
Ich stimme der Abstimmung für Finite-Volume-Methoden oder, wenn Sie eine Herausforderung wünschen, für DG-Methoden zu.
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