Leicht verständliches Argument, dass normale Runge-Kutta-Methoden nicht auf SDEs verallgemeinert werden können?

Ein naiver Ansatz zur Lösung stochastischer Differentialgleichungen (SDEs) wäre:

Nehmen Sie eine regelmäßige mehrstufige Runge-Kutta-Methode.
Verwenden Sie eine ausreichend feine Diskretisierung des zugrunde liegenden Wiener-Prozesses.
Machen Sie jeden Schritt der Runge-Kutta-Methode analog zu einem Euler-Maruyama.

Dies schlägt auf mehreren Ebenen fehl und ich verstehe warum. Jetzt bin ich jedoch beauftragt, Menschen von dieser Tatsache zu überzeugen, die zunächst wenig über Runge-Kutta-Methoden und stochastische Differentialgleichungen wissen. Alle mir bekannten Argumente sind nichts, was ich im gegebenen Kontext gut kommunizieren kann. Daher suche ich nach einem leicht verständlichen Argument, dass der obige Ansatz zum Scheitern verurteilt ist.

runge-kutta education stochastic-ode Wrzlprmft
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@BiswajitBanerjee: Ich bin mir dessen bewusst und behaupte in der Tat nicht, dass ich dies so tief wie möglich verstanden habe. Dennoch denke ich nicht, dass die Angabe aller Argumente die Antwort verbessern wird, da diejenigen, die eine Antwort liefern können, sich ihrer bewusst sind. Darüber hinaus ist dieser Fall etwas Besonderes, da es darum geht zu erklären, warum etwas nicht funktioniert, worauf es natürlich viele Antworten gibt, beginnend mit „Wir haben es getestet und es ist fehlgeschlagen“.

Wrzlprmft

Ich habe nicht über Experten für stochastische ODEs gesprochen, sondern über den durchschnittlichen Leser, der Zufallsvariablen und RK versteht, als ich "uns" sagte. Ich werde Sie jedoch nicht weiter stören, wenn Sie kein Beispiel für Ihr Denken geben möchten.

Biswajit Banerjee

Antworten:

Nehmen wir eine stochastische Differentialgleichung:

X_{t} = f (t, X_{t}) d t + g (t, X_{t}) d W_{t}

$X_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t$

$W(t)$

Regelmäßigkeit der Gleichung

$X_t$ $X_t$ $\alpha < 0.5$

$\alpha$ $\alpha$ $\frac{1}{2}$ $dt$ $\Delta t$ $dW_t$ $N(0,dt)$ $X_t$

Momentane Korrelationen und iterierte Integrale

$X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$ $dt^2$ $dt^2$ $dW_t^i dW_t^j$ $dt$ $dW_t^2$ $dt$ $dW^2 - dt$

Durchschnittlicher Diffusionseffekt

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $g$

$g$ $g$ $X_t$ $dW_t$ $dW_t$ $\sqrt{\Delta t}$ $g(t,X_t)$

\frac{g (t + Δ t, X_{t + Δ t}) - g (t, X_{t})}{\sqrt{Δ t}}

$\frac{g(t+\Delta t,X_{t+\Delta t}) - g(t,X_t)}{\sqrt{\Delta t}}$

$X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

$g$ $X_t$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ $c_i$ $X_{t + c_i\Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

Fazit

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$

Natürlich gibt es unter bestimmten Umständen Möglichkeiten, geeignete Verallgemeinerungen zu finden, die Methoden höherer Ordnung ergeben, aber ich lasse dies als baumelnden Faden, da dies ein Punkt eines Papiers ist, das ich bald einreichen werde. Hoffe das hilft.

Chris Rackauckas
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