Gibt es einen allgemeinen Ansatz, um Projektionsmethoden für verschiedene Probleme zu erstellen?

Meine Frage wird wahrscheinlich zu allgemein sein, um sie mit ein paar Worten zu beantworten. Könnten Sie bitte in diesem Fall eine gute Lektüre vorschlagen? Projektionsmethoden werden verwendet, um die Größe des Lösungsraums für die Probleme zu reduzieren. Und es gibt mindestens zwei sehr interessante Anwendungen (aus meiner Sicht). Das erste ist die Lösung von Problemen der Kontinuumsmechanik (Finite-Elemente-, Ritz-Methoden) und das zweite die Lösung von linearen Gleichungssystemen (Krylov-Subraummethoden).

Die Frage lautet wie folgt: Gibt es eine Theorie oder einen Teil der Analyse, die Projektionsmethoden in all ihren Anwendungen untersucht? Wenn ja, können von diesem Ausgangspunkt aus andere Methoden wie Methoden mit endlichem Volumen erstellt werden?

Ich habe an der Universität FEA studiert, aber im Moment sind alle diskreten Näherungen wie eine Reihe von isolierten "Werkzeugen", die ich in einem bestimmten Fall verwenden kann. Vielen Dank.

Der Galerkin-Ansatz (der eine Annäherung von einem gegebenen Unterraum sucht, so dass der Rest orthogonal zu einem anderen gegebenen Unterraum V ist ) ist in der Tat sehr allgemein (und nicht auf endlich dimensionale Räume beschränkt). Im Zusammenhang mit der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen müssen U und V im Wesentlichen zwei Bedingungen erfüllen:$U$$V$$U$$V$

1. $Ax=b$$\dim U = \dim V$$V$$A$$U$

2. $U$$V$

$U$$V$

Die meisten modernen mathematischen Lehrbücher über Finite-Elemente-Methoden folgen diesem Ansatz. Zwei gute Beispiele sind

• Brenner, Scott: Die mathematische Theorie der Finite-Elemente-Methoden
• Ern, Guermond: Theorie und Praxis endlicher Elemente

(Letzteres gefällt mir besonders gut, da es einen sehr allgemeinen Ansatz für Galerkin-Methoden verfolgt, einschließlich gemischter und hybrider finiter Elemente und diskontinuierlicher Galerkin-Methoden.)

Für lineare Systeme wird in Saads Buch eine gute allgemeine Diskussion des Projektionsansatzes gegeben .

Für die Lösung von Differentialgleichungen kann es nützlich sein, in Bezug auf die von Crandall (1956) geprägte und in einer ersten Übersicht von Finnlayson und Scriven (1966) beschriebene Methode der gewichteten Residuen (MWR) zu denken

"Die Methode der gewichteten Residuen vereint viele ungefähre Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen, die derzeit verwendet werden."

und

"Die Methode der gewichteten Residuen ist ein Werkzeug für Ingenieure, um ungefähre Lösungen für die Änderungsgleichungen verteilter Systeme zu finden."

Kurz gesagt, die MWR-Methode vereint auf systematische Weise mehrere gängige Diskretisierungsmethoden.

Hast du daran gedacht?

Für die Lösung linearer Gleichungssysteme sehe ich Krylov-Subraummethoden als allgemeinen Ansatz zur Erstellung von Projektionsmethoden. Der problemspezifischste Teil dieser Methoden ist die Wahl des Vorkonditionierers für die Beschleunigung der Konvergenz - und dies ist normalerweise problemspezifisch, wie diese Wahl getroffen werden soll.