numerische Integration mit möglicher Division durch 'Null'

9

Ich versuche mich zu integrieren

01t2n+2exp(αr0t)dt

Das ist eine einfache Transformation von

1x2nexp(- -αr0x)dx

mit weil es schwierig ist, falsche Integrale numerisch zu approximieren. Dies führt jedoch zu dem Problem der Bewertung des neuen Integranden nahe Null. Es wird sehr einfach sein, die richtige Anzahl von Quadraturknoten zu erhalten, da das Intervall nur die Länge 1 hat (so dass das vergleichbaredtsehr klein gemacht werden kann), aber welche Art von Überlegungen sollte ich bei der Integration nahe Null machen?t=1xdt

In gewisser Hinsicht denke ich, dass man einfach ist eine gute Idee, wobeiϵeine kleine Zahl ist. Welche Nummer soll ich jedoch wählen? Sollte es Maschinen-Epsilon sein? Ist die Division durch maschinelles Epsilon eine gut quantifizierte Zahl? Wenn die Teilung meines Maschinen-Epsilons (oder in der Nähe davon) eine unglaublich große Zahl ergibt, dann nehmen Sieexp(1)ϵ1t2n+2exp(αr0t)dtϵwird noch größer.exp(1ϵ)

Wie soll ich das erklären? Gibt es eine Möglichkeit, ein genau definiertes numerisches Integral dieser Funktion zu haben? Wenn nicht, wie lässt sich die Funktion am besten integrieren?

drjrm3
quelle
1
Haben Sie überlegt, Monte Carlo zu verwenden?
Faheem Mitha
Ich habe das Gefühl, es würde das Problem nicht beheben. Die Monte-Carlo-Integration ist häufig hochdimensionalen Integralen vorbehalten. Ich würde genau die gleichen Probleme mit Monte Carlo haben, ich hätte einfach weniger Kontrolle darüber, wo meine Funktion bewertet wird.
drjrm3
Du hast vielleicht recht.
Faheem Mitha
Ich denke, es wäre immer noch gut, eine Antwort (vielleicht auf eine separate, allgemeinere Frage) zu haben, die erklärt, wie man eine numerische Integration durchführt, wenn die Funktion an einer Grenze divergiert, für den allgemeinen Fall, dass es nicht möglich ist, das Integral analytisch durchzuführen. Andererseits könnte das genauso gut in numerischen Rezepten gefunden werden ...
David Z
@Faheem: "Monte Carlo ist eine extrem schlechte Methode; sie sollte nur verwendet werden, wenn alle alternativen Methoden schlechter sind." - Alan Sokal
JM

Antworten:

10

1xeax=1axeax11a1eax=eaa+eaa2=a+1a2e- -ein
1xke- -einx=- -1einxke- -einx1- -- -kein1xk- -1e- -einx=e- -einein+kein1xk- -1e- -einx
ich(k)=e- -einein+keinich(k- -1)
ich(0)=e- -einein
Matt Knepley
quelle
absolut keine ahnung wie ich das übersehen habe. Dankeschön.
drjrm3
1
Clevere Substitutionen und Integration durch Teile sollten immer eines der ersten Dinge sein, die Sie mit widerspenstigen Integralen tun.
JM
1x2nexp(- -αx)dx unter der Annahme n:: ::nonnegint,α>0Γ(2n+1,α)α- -2n- -1
Erik P.
Tatsächlich wählt Mathematica die Antwort als ExpIntegralE [-2 n, ar]. Wenn Sie FunctionExpand darauf ausführen, gibt es dieselbe Antwort wie Maple.
Searke
1

Schauen Sie sich QUADPACK an . Es verfügt über Routinen für die Integration über (halb-) unendliche Domänen.

GertVdE
quelle