Was ist ein gutes Stoppkriterium, wenn eine iterative Methode zum Ermitteln von Eigenwerten verwendet wird?

Ich habe diese Antwort gelesen und festgestellt, dass ich den Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Iterationen verwendet habe, um ein Stoppkriterium für eine iterative Methode zum Finden von Eigenwerten / Vektoren zu definieren.

Was sind gute Stoppkriterien für iterative Methoden, die zu Eigenwerten und Eigenvektoren konvergieren?

Youssef Saads Buch Numerische Methoden für große Eigenwertprobleme, 2. Auflage, verwendet die Norm des Restvektors, um Konvergenzkriterien zu definieren. Er definiert den Restvektor wie folgt auf Seite 59:

$\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$$\widetilde{\lambda} \in \mathbb{C}$$\widetilde{\mathbf{u}} \in \mathbb{C}^{n}$$\widetilde{\lambda}$$\mathbf{r}$$(\widetilde{\lambda}, \widetilde{\mathbf{u}})$

$$\mathbf{r} = \mathbf{A}\widetilde{\mathbf{u}} - \widetilde{\lambda}\widetilde{\mathbf{u}}.$$

Viele der Fehlerergebnisse in Saads Buch werden in Bezug auf die Norm des Restvektors (im Allgemeinen die 2-Norm) angegeben, und er verwendet die Norm des Restvektors als Metrik für die Konvergenz, wenn er numerische Ergebnisse präsentiert. Basierend auf diesen Beweisen wäre das Stoppkriterium

$$\|\mathbf{r}\| < \varepsilon.$$

$\|\mathbf{r}\|/\|\widetilde{\lambda}\widetilde{\mathbf{u}}\|$

Jedoch LAPACK nicht notwendigerweise , dass die Metrik für die Konvergenz verwendet werden (siehe zum Beispiel in LAPACK Anmerkung (RASEN Arbeits) # 15 , Jacobi-Verfahrens unter Verwendung von für die Eigenvektoren und Eigenwerte von symmetrischen , positiv definite Matrizen Berechnung). Die LAWNs sind ziemlich dicht (entschuldigen Sie das Wortspiel) und technisch, aber wenn Sie wissen möchten , welche hochwertigen Implementierungen für die Konvergenz verwendet werden, sind sie möglicherweise eine ausführliche Lektüre wert.