komplementäre IIR-Filter

Ich hätte gerne ein Paar komplementärer IIR-Filter (Tiefpass / Hochpass). Mit komplementär meine ich, wenn die Ausgabe der beiden Filter summiert wird, wird das ursprüngliche Signal wiederhergestellt. Ich dachte, ich könnte solche Paare mit Butterworth-Filtern bauen, aber mit ein wenig Mathematik entdeckte ich, dass nur Filter 1. Ordnung komplementär waren. Ich dachte, ich hätte das schon einmal gemacht, aber ich vergesse wie.

Stimmt etwas mit meiner Mathematik nicht? Gibt es eine einfache Lösung, die ich vergesse?

Vielen Dank!

Juanchos Antwort ist irgendwie richtig, es gibt jedoch ein Problem: Der kostenlose Filter eines Tiefpasses ist im Allgemeinen KEIN Hochpassfilter, zumindest nicht in dem Sinne, wie Sie ihn suchen. Zum Beispiel sieht das Kompliment eines Butterworth-Tiefpasses 4. Ordnung überhaupt nicht wie ein Hochpassfilter 4. Ordnung aus. Es hat nur etwa die Hälfte der Steilheit, erreicht einen maximalen Gewinn von ca. +6 dB unter der Übergangsfrequenz und nähert sich dann langsam der Einheitsverstärkung über der Übergangsfrequenz.

Die einzigen passenden Hoch- und Tiefpassfilter, die sich zu Eins summieren, sind Filter erster Ordnung. Sie können jedoch passende Filter höherer Ordnung finden, die sich zu einem Einheitsgewinn summieren, so dass die Gesamtübertragungsfunktion der Summe ein Allpassfilter ist. Dies sind Butterworth-Filter ungerader Ordnung und Linkwitz Riley-Filter gerader Ordnung.

$H_2(e^{j\theta}) = 1 - H_1(e^{j\theta})$$h_2[n] = \delta[n] - h_1[n]$

$H_1(z)$$\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$$H_2(z)$$\frac{(a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$

$H_2$$(a_0-b_0)$$(a_1 - b_1)$

Die rekursiven Koeffizienten sind für beide Filter gleich.