Auswirkung der Fensterung auf den Lärm

Ich verstehe, dass das zeitliche Abschneiden eines Signals den Frequenzgang abhängig vom gewählten Fenster "verschmiert". Im Allgemeinen ist der Frequenzgang umso abgeflachter, je kürzer die Signaldauer ist (siehe hier: http://www.thefouriertransform.com/pairs/box.php ):

Wie wirkt sich die Fensterlänge jedoch auf den Frequenzgang des (bandbegrenzten additiven weißen Gaußschen) Rauschens aus? Angenommen, ein rechteckiges Fenster mit der Amplitude , der Dauer und einer entsprechenden -Hauptkeule im Frequenzbereich mit der Amplitude und der Breite :$A$$T$$\operatorname{sinc}(\cdot)$$A\,T$$\frac{2}{T}$

$$\begin{align} \mathscr{F}\bigg\{A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \bigg\} &= \int_{-\infty}^{+\infty} A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{+T}{2}} A \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= A \, \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f} \\ \\ &= A \,T \, \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$$

Wenn festgelegt und halbiert würde, würde dies zu einem mit halbierter Amplitude, aber doppelter Hauptkeulenbreite führen. Es scheint dann, dass das Falten dieses aufgrund der Aufhebung zu der 'gleichen' Rauschamplitude im Frequenzbereich führen würde . Das heißt, die effektive Rauschbandbreite, die zu einer gegebenen Frequenz beiträgt, wird verdoppelt, aber der Beitrag pro Hz dieser Bandbreite wird halbiert.$A$$T$$\operatorname{sinc}$$\operatorname{sinc}$$\frac{1}{2}\cdot 2 = 1$

1. Ist das wahr? Und wie wirkt sich die Dauer und Form eines Fensters im Allgemeinen auf den Frequenzgang von Rauschen aus?
2. Wenn (1) wahr ist, bedeutet dies, dass die Halbierung der Fensterdauer auch das SNR einer einzelnen Sinuskurve halbiert? (Weil die Stärke des Signals halbiert wird, aber das Grundrauschen konstant bleibt)

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Bearbeiten: Ein Punkt, den ich erkannt habe, ist, dass es zu destruktiven Interferenzen zwischen Rauschkomponenten unterschiedlicher Frequenzen kommen kann. Daher ist dies keine so einfache Analyse, wie nur die Fourier-Transformation der Fensterfunktion mit der Quadratwurzel der spektralen Dichte der Rauschleistung zu falten. Vielleicht könnte eine gleichmäßig verteilte Rauschphase bei jeder Frequenz angenommen werden?

Ich habe keinen Zugang, aber vielleicht ist dieses Papier nützlich? http://ieeexplore.ieee.org/document/199437/

UPDATE: Meine vorherige Antwort hat die Frage des OP nicht beantwortet. Im Folgenden wird die Frage direkt angesprochen:

Endeffekt:Vor dem zeitlichen Fenster ist jede Frequenzabtastung eine IID-Gaußsche Zufallsvariable, da die Fourier-Transformation einer zeitlichen AWGN-Wellenform zu einer identisch verteilten Frequenzwellenfrequenz führt (Gaußsche Verteilung und Weiß, was bedeutet, dass jede Abtastung unabhängig von der nächsten ist) . Nach dem zeitlichen Fenster wird eine Abhängigkeit zwischen den benachbarten Abtastwerten in der Frequenz erzeugt. Der Gesamtfrequenzgang ist jedoch weiterhin weiß (gleichmäßige und insgesamt gleiche Leistung) und Gaußsch. Die Varianz einer Sinuswelle in Bezug auf die Varianz / Hz des Prozesses mit weißem Rauschen (die Varianz für einen AWGN-Prozess muss als Dichte in Leistungseinheiten / Hz angegeben werden, da ein Prozess mit wirklich weißem Rauschen eine unendliche Leistung hat) bleibt unverändert Beziehung zueinander; wenn das Fenster die Kraft der Sinuswelle um die Hälfte sinken ließ, Die Leistung des Rauschens würde ebenfalls um die Hälfte sinken. Die tatsächlichen Werte hängen davon ab, wie die Normalisierung in den Berechnungen durchgeführt wird. Bei einer geraden Leistungsberechnung, die Energie / Zeit ist, würde eine Reduzierung des Fensters um die Hälfte (zum Beispiel) die Leistung um die Hälfte reduzieren, unabhängig davon, um welche Art von Wellenform es sich handelt (Sinus, AWGN usw.). Dies steht im Gegensatz zu dem, was passieren würde, wenn wir uns mit einem rechteckigen Fenster zusammenschließen würden, das in der zweiten Hälfte des folgenden Beitrags behandelt wird (was war meine ursprüngliche, aber fehlgeleitete Antwort).

Einzelheiten:

Betrachten Sie für diskrete Zeitsignale Folgendes aus dem Parseval-Theorem, das zeigt, dass die Energie des Signals in Zeit und Frequenz gleich ist:

Wenn die Zeit abläuft $-\infty$ zu $+\infty$ was für die DTFT wäre:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X((e^{j\phi})|^2d\phi\tag{1}$$

Beachten Sie, dass bei Verwendung der normalisierten Frequenz (1) die folgende Form möglicherweise leichter zu befolgen ist:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\int_{-0.5}^{0.5}|X(f)|^2df$$

Wenn die Zeit begrenzt ist (Fenster), wäre dies für die DFT:

$$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{2}$$

In der obigen DFT-Beziehung unter Verwendung des Parseval-Theorems vergleichen wir Energie; Wenn wir weiter nach M skalieren, wobei M die Gesamtbeobachtungszeit in Proben darstellt, werden wir die Leistung unter verschiedenen rechteckigen Fenstergrößen von N Proben vergleichen, die wir sowohl auf Sinustöne als auch auf weißes Rauschen anwenden können:

$$\frac{1}{M}\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{M}\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{3}$$

Der DTFT-Fall konvergiert nicht, ohne dass ein Fenster angewendet wird (unendliche Energie), aber wir können einen Einblick in die Antwort erhalten, indem wir ein beliebig großes Fenster (die DFT) betrachten und dies dann mit dem vergleichen, was passiert, wenn wir es mit einem kleineren Fenster reduzieren.

Sinus

Betrachten Sie eine Sinuswelle mit einem beliebig langen Fenster N mit einer Beobachtungszeit, die ebenfalls gleich N ist:

Wenn das Fenster im Vergleich zu einem Zyklus der Sinuswelle tatsächlich sehr groß ist, wird die DFT der Sinuswelle durch zwei Impulse (wie genau dann, wenn das Fenster eine ganzzahlige Anzahl von Zyklen der Sinuswelle ist) mit jeweils gut angenähert eine Größe, die das N / 2-fache der Spitzengröße der Sinuswelle in der Zeit beträgt. Somit führt der Satz von Parseval für eine Sinuswelle mit einem beliebig langen Fenster zur erwarteten Varianz einer Sinuswelle mit Spitze$A_p$ (unter Verwendung von M = N in Gleichung (3)):

$$\frac{1}{N^2}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2 = \frac{1}{N^2}\left( \left(\frac{N}{2}A_p\right)^2+\left(\frac{N}{2}A_p\right)^2\right)=\frac{A_p^2}{2}=\sigma^2$$

Wenn wir das Fenster für die Sinuswelle verkleinern, wird der Frequenzgang der Sinuswelle tatsächlich auf andere Bins "verschmiert". Die Impulse werden zu Sinc-Funktionen in der Frequenz, die breiter werden, wenn das Fenster schmaler wird, und die Gesamtleistung, wenn die quadratische Summe aller Behälter berücksichtigt wird, sinkt als das Verhältnis von N / M, wobei M die ursprüngliche Fenstergröße darstellt. Es ist zu beachten, dass sich die Gesamtleistung der ursprünglichen Fenstergröße M in beiden Domänen ändert, wenn der Restanteil eines Sinuswellenzyklus im Vergleich zum integrierten Bereich unter einem Zyklusquadrat signifikant wird, wie dies der Fall ist, wenn die Fensterdauer nicht signifikant länger als ist ein Zyklus einer Sinuswelle. Wenn wir einen einzelnen komplexen exponentiellen Frequenzton betrachten würden, würde diese Variation, wenn die Fenstergröße signifikant verringert würde, nicht auftreten.

AWGN

Ein additiver Gaußscher Prozess des weißen Rauschens in der Zeit ist ein additiver Gaußscher Prozess des weißen Rauschens in der Frequenz mit der gleichen Verteilung in beiden Bereichen. (In Bezug auf eine mathematische Funktion handelt es sich also nur um eine Änderung der Variablen von Zeit zu Frequenz, wenn eine einheitliche Fourier-Transformation verwendet wird.) Erinnern wir uns auch daran, was AWGN konzeptionell ist: Es ist weiß, was bedeutet, dass es über ALLE Frequenzen die gleiche Leistungsdichte hat (und daher unbegrenzte Leistung und daher nicht realisierbar), und Gauß - was bedeutet, dass die Verteilung seiner Größe in der Zeit eine Gaußsche Form annimmt . Die Fourier-Transformation eines Gaußschen Weißprozesses ist auch ein Gausssscher Weißprozess; was bedeutet das? Im Frequenzbereich nimmt die Größenverteilung der Funktion gegenüber der Frequenz ebenfalls eine Gaußsche Form an und in diesem Fall als "weiß" Dies bedeutet ausdrücklich, dass die Transformation dieser Funktion (die Zeitbereichsfunktion) über die gesamte Zeit die gleiche Leistung hat. Unterm Strich sind für uns neben der Variablen, die die Domäne definiert, die Funktionen identisch. In Bezug auf Fourier-Transformationen ist das Multiplizieren mit einem Fenster in einer Domäne die Faltung des Fensterkerns (Fourier-Transformation des Fensters) in der anderen Domäne. Wenn wir ein Signal filtern, falten wir das Signal mit der Impulsantwort des Filters, die die inverse Fourier-Transformation des Frequenzgangs ist. Wenn man wie oben beschrieben mit der DFT arbeitet, ist die Faltung selbst a Die Funktionen sind identisch. In Bezug auf Fourier-Transformationen ist das Multiplizieren mit einem Fenster in einer Domäne die Faltung des Fensterkerns (Fourier-Transformation des Fensters) in der anderen Domäne. Wenn wir ein Signal filtern, falten wir das Signal mit der Impulsantwort des Filters, die die inverse Fourier-Transformation des Frequenzgangs ist. Wenn man wie oben beschrieben mit der DFT arbeitet, ist die Faltung selbst a Die Funktionen sind identisch. In Bezug auf Fourier-Transformationen ist das Multiplizieren mit einem Fenster in einer Domäne die Faltung des Fensterkerns (Fourier-Transformation des Fensters) in der anderen Domäne. Wenn wir ein Signal filtern, falten wir das Signal mit der Impulsantwort des Filters, die die inverse Fourier-Transformation des Frequenzgangs ist. Wenn man wie oben beschrieben mit der DFT arbeitet, ist die Faltung selbst akreisförmige Faltung.

Überlegen Sie vor diesem Hintergrund, was mit dem Frequenzgang eines AWGN-Prozesses passieren würde, wenn wir ihn zeitlich fensterisieren: Vor dem Fenstern, was bei einem beliebig langen Fenster N mit einer Beobachtungszeit gleich N der Fall ist, ist der Frequenzgang tatsächlich weiß, und wie oben erwähnt, ist die "Zeitantwort" in diesem Fall ebenfalls ähnlich "weiß" (was bedeutet, dass sie sich über die gesamte Länge erstreckt, wobei alle Proben eine ähnliche Verteilung aufweisen). Zu beachten ist auch, dass in Bezug auf unser Abtastzeitintervall jede zeitliche Abtastung von der nächsten unkorreliert ist (daher ergibt sich ein Spektrum über unserem digitalen Frequenzintervall, das tatsächlich weiß ist). Die Varianz unseres Zeitbereichssignals ist gleich der Varianz unserer DFT, wenn wir die DFT wie in (3) gezeigt mit N = M skalieren.

Genau wie im Fall der Sinuswelle verringert sich die Leistung (Varianz) um N / M, wenn wir das rechteckige Fenster M auf weniger als M reduzieren. Interessant und relevant für die Frage ist jedoch, dass der Frequenzgang wird weiß und Gauß bleiben! Warum ist das? Indem wir das rechteckige Fenster auf M reduzieren, falten wir den Frequenzgang mit einer Sinc-Funktion (oder in unserem diskreten System, was einer Sinc-Funktion für großes M gut nahekommt und tatsächlich eine "aliasierte" Sinc-Funktion ist), und wie bereits erwähnt, ist dies eine kreisförmigFaltung. Somit wäre der Frequenzgang immer noch weiß, aber zu beachten ist, dass wir aufgrund der Faltungsoperation für jede Probe eine Frequenzabhängigkeit von benachbarten Proben erzeugt haben. Dies bedeutet, dass in der Frequenz jede Probe nicht mehr unabhängig von Probe zu Probe ist, so dass im Zeitbereich die Transformation nicht mehr weiß ist, aber im Frequenzbereich ist die Amplitudenverteilung selbst immer noch Gaußsch und die Leistungsdichte ist immer noch gleichmäßig über alle Frequenzen innerhalb des verwendeten digitalen Frequenzintervalls und ist daher in der Tat immer noch weiß in der Frequenz.

Somit besteht der Einfluss eines rechteckigen Fensters in der Zeit auf den Frequenzbereich darin, die Unabhängigkeit zwischen den benachbarten Frequenzabtastwerten zu beseitigen und die Gesamtleistung proportional zu verringern, wenn sie über dasselbe Beobachtungsintervall verglichen wird (ebenso wie dies bei einer Sinuswelle der Fall ist) SNR ändern); Die statistische Beschreibung von Weiß (in der Frequenz) und Gauß-Verteilung ändert sich jedoch nicht. Die Abhängigkeit zwischen Abtastwerten in der Frequenz ähnelt dem Effekt einer zeitlichen Abhängigkeit von Abtastwerten: Wenn wir eine zeitliche Abhängigkeit zwischen Abtastwerten haben, haben wir einen bandbegrenzten (tiefpassgefilterten) Prozess, den wir daher als "frequenzbegrenzt" bezeichnen können. . Wenn wir eine Abhängigkeit zwischen Stichproben in der Frequenz haben, haben wir einen zeitlich begrenzten Prozess; Das ist, was das rechteckige Fenster tut.

Als letzter Punkt, um zu sehen, was los ist; Manchmal ist es einfacher, in einer Domäne statt in der anderen zu denken. Überlegen Sie also, ob wir das rechteckige Fenster auf ein AWGN-Signal mit einer anfänglich weißen Frequenz (gleichmäßige Dichte über alle Frequenzen) anwenden. Vor dem Fenster würde sich das Zeitbereichssignal über unser gesamtes Beobachtungsintervall erstrecken, und die DFT würde sich über den gesamten Frequenzraum erstrecken, der durch unser Abtastzeitintervall definiert ist. Wenn wir das Signal zeitlich beobachten, unabhängig davon, wie stark wir in die Zeitbereichswellenform hineingezoomt haben, erscheint es wie im ersten Diagramm unten für AWGN, da jede Probe unabhängig von der nächsten ist. Und das Historgramm der Größenverteilung ist Gaußsch. Wenn wir den Frequenzgang bandbegrenzen würden (indem wir den Frequenzgang mit einem rechteckigen Fenster multiplizieren), würden wir im Zeitbereich etwas sehen, das dem zweiten Diagramm unten ähnlich ist; Wenn wir hineinzoomen, können wir definierte Trajektorien von einer Probe zur nächsten sehen! Beachten Sie, dass sich das Histogramm der Größe (solange wir es über genügend Abtastwerte hinweg durchführen) nicht ändert und immer noch Gaußsch ist. Und wichtiger Hinweis: Unsere Zeitbereichsfunktion erstreckt sich immer noch über unsere gesamte Beobachtungszeit mit einer gleichmäßigen Leistung. Sie ist also zeitlich "weiß" und Gaußsch, aber nicht mehr weiß in der Frequenz. So sehen wir direkt, was im Fall der OP-Frage mit dem Frequenzgang passieren würde. Anstelle der Wellenformen unterhalb der Zeit wären sie Frequenz. Der Frequenzgang ist in Leistung (weiß) und Gauß noch einheitlich, aber aufgrund der zeitlichen Fensterung könnten wir jetzt den Frequenzgang vergrößern und die Korrelation von Probe zu Probe beobachten, die jetzt existieren würde, die vorher nicht existierte zum Fenster. Vor dem Fenster war jedes Sample in der Frequenz unabhängig von benachbarten Samples, sodass es beim Vergrößern des Frequenzgangs weiterhin wie im ersten Diagramm unten aussehen würde. Wenn die Zeitbereichsfunktion jedoch mit einem Fenster versehen wäre, würde dies eine Abhängigkeit zwischen den benachbarten Abtastwerten in der Frequenz erzeugen, und wenn wir in diesem Fall auf den Frequenzgang zoomen, würden wir beginnen, so etwas wie das zweite Diagramm unten zu beobachten:

Weißes Gaußsches Rauschen (AWGN)

Bandbegrenztes Gaußsches Rauschen

Ein weiterer Weg, um zu beweisen, dass der Frequenzgang nach Multiplikation der Zeitbereichsfunktion mit einem rechteckigen Fenster weiß bleibt, besteht darin, jeweils die Autokorrelationsfunktion zu beobachten: Die Autokorrelationsfunktion für ein AWGN-Signal ist ein Impuls, und der Frequenzgang eines Impulses ist eine einheitliche Funktion. Das Hinzufügen von Nullen zur AWGN-Funktion (oder eine äquivalente Fensterung) ändert nichts daran, dass das Ergebnis ein Impuls ist, und daher ist der Frequenzgang immer noch gleichmäßig (weiß). Das Hinzufügen von Nullen interpoliert zwischen den vorhandenen Abtastwerten in der Frequenz, und somit werden die zuvor beschriebenen Trajektorien erzeugt ... und zu beachten ist, dass für eine gegebene Fenstergröße der Länge T eines AWGN-Signals die Abtastwerte in der Frequenz durch 1 / T getrennt sind wird unabhängig bleiben,

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Vorheriger Beitrag: Das Folgende wurde ursprünglich als Antwort gegeben, dies ist jedoch spezifisch für das Falten mit einem rechteckigen Fenster, das nicht die gestellte Frage war:

Eine Fensterdauer und -form beeinflusst die spektrale Dichte des weißen Rauschens basierend auf dem Frequenzgang des Fensters direkt. Während die Leistung des Rauschens basierend auf der relativen Länge des Fensters verringert wird; Bedeutung als Summe von Quadraten oder$\int_0^T(x^2)dx$während eine Sinuswelle innerhalb der Korrelationsbandbreite des Fensters (dh Frequenz <1 / T, wobei T die Fensterlänge ist) als Summation zunehmen würde. Ich ziehe es vor, das Fenster als gleitenden Durchschnitt zu betrachten, so dass sich die Sinuswelle (wenn ihre Frequenz niedrig genug ist) nicht ändert und das Rauschen proportional kleiner ist. Dies bedeutet nur, dass wir das Fenster auf seine Länge normalisiert haben, aber es ist intuitiver, dass das Fenster die Sinuswelle selbst nicht beeinflusst, sondern Rauschen entfernt. Die Normalisierung führt, wenn sie nicht nur verwendet wird, zu einer willkürlichen Skalierung, aber das Verhältnis von Signal zu Rauschen ist in beiden Fällen am Ende von Interesse.

Betrachten Sie einen beispielhaften (digitalen) Prozess für weißes Rauschen mit einer Gesamtvarianz von 1

Wenn wir dies mit einem 10-Tap-Einheitsverstärkungsfilter filtern würden (was das Falten des Prozesses des weißen Rauschens mit einem diskreten rechteckigen Fenster darstellt [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]), wäre das Rauschen von Tap zu Tap im Filter unkorreliert. Dies würde um das Quadrat (10) in der Standardabweichung (die seine Größengröße darstellt) steigen, während eine Sinuswelle, die innerhalb der Filterbandbreite lag, korreliert wäre und um einen Faktor von 10 in der Größe zunehmen würde.

Beobachten Sie den Frequenzgang eines solchen Filters, wobei die Gleichstromverstärkung von 20 dB den oben beschriebenen Faktor 10 als (20Log10 (10)) darstellt. Diese Antwort zeigt genau, was mit dem Leistungspegel eines einzelnen Tons bei jeder Frequenz innerhalb des Filterspektrums passieren würde, während die Leistung mehrerer Töne die Summe ihrer individuellen Leistungen sein würde (so behandeln wir, was mit dem Rauschen passiert, als im$\sum x^2$ ):

Und der erwartete Effekt auf das weiße Rauschen

Das Rauschen wird jetzt aufgrund der Tiefpassnatur des Fensters geformt (farbig), und das Gesamtrauschen nach der Verarbeitung durch diesen Filter sollte nur um 10 log10 (10) = 10 dB ansteigen. Somit hat sich das SNR seit dem Ton (Signal) um 10 dB erhöht, wenn es um 20 dB gestiegen ist, während das Rauschen um 10 dB gestiegen ist, oder wenn wir uns auf den Tonpegel normalisiert haben, ist das Rauschen um 10 dB oder 1/10 Zoll gesunken totale Kraft.

Experimentell testen:

noise= randn(2^12,1);
var1 = std(noise);
noisefilt = filter(ones(10,1),1,noise);
var2 = std(noisefilt);
freqz(ones(10,1));  % frequency response

Ergebnisse in var1 = 1,00355 und var2 = 10,64.

Die Erhöhung ist nur ein konstanter (und willkürlicher) Verstärkungsfaktor. Wichtig ist also, wie das Rauschen relativ zu einer Sinuswelle bewirkt wird, indem das Fenster die Rauschleistung des weißen Rauschens proportional reduziert (in diesem Fall vergleichen Sie ein breiteres Fenster mit einem 1/10 in der Größe und die kleinere entfernt 1/10 der Leistung), während die Sinuswelle gemäß einer Sinc-Funktion mit der ersten Null bei 1 / T reduziert wird, wobei T die Länge des Fensters ist. (Oder für ein beliebiges Fenster, das auf der Fourier-Transformation des Fensters selbst basiert).

Wie ich auch im Kommentar unter dem ursprünglichen Beitrag erwähnt habe, glaube ich, dass Fred Harris die Mathematik gut beherrscht, wenn es darum geht, kohärente und nicht kohärente Verstärkung, äquivalente Rauschbandbreite usw. in Fenstersystemen in diesem klassischen Artikel zu beschreiben, auf den ich häufig verweise: https: // www .utdallas.edu / ~ cpb021000 / EE% 204361 / Great% 20DSP% 20Papers / Harris% 20on% 20Windows.pdf

Bearbeiten : Ich möchte meine Berechnung unten korrigieren. Die Berechnung ist korrekt, berechnet jedoch nicht, was tatsächlich in Frage gestellt wird.

Angesichts des Rauschsignals $n(t)$ und das Fenster $w(t)$ist das Gesamtsignal $n(t)w(t)$. Was Sie interessiert, ist der Ausdruck$E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]$. (Die Änderung an der alten Berechnung besteht darin, dass Sie tatsächlich an der Varianz für jede Frequenzprobe interessiert sind, nicht an der Gesamtrauschenergie.)

Lassen Sie uns also die Berechnung durchführen:

$$\begin{align} E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]&=E[|N(f)*W(f)|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2]&\text{using }|x|^2=xx^*\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0E_w \end{align}$$ Wo in der letzten Gleichung $E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$ist die Energie des Fensters. Sie sehen also, dass die Rauschvarianz auf jedem Frequenzbereich durch die Gesamtenergie des Fensters verstärkt wird (was mir vernünftig erscheint).

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Alte Antwort:

Dieser Beitrag beantwortet die Frage nicht, da das endgültige Integral abweicht. Ich glaube, es gibt einen Fehler in meiner Berechnung, vielleicht kann jemand einen Blick darauf werfen?

Angesichts des Rauschsignals $n(t)$ und das Fenster $w(t)$ist das Gesamtsignal $n(t)w(t)$. Was Sie interessiert, ist der Ausdruck$E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]$.

Lassen Sie uns also die Berechnung durchführen:

$$\begin{align} E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]&=E[\|N(f)*W(f)\|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[\|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1\|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{explicit norm}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1df&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}E_wdf=\infty \end{align}$$

Wo in der letzten Gleichung $E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$ ist die Energie des Fensters.

Leider geht das letzte Integral auseinander. Wo ist der Fehler? Es kann nicht divergieren, da das Rauschen keine unendliche Varianz haben kann.