Fourier-Transformations-Identitäten

Wir kennen das unten,

F { x ( - t ) } = X ( - f ) F { x ∗ ( t ) } = X ∗ ( - f

$$\mathscr{F}\big\{x(t)\big\}=X(f) \tag{1}$$ $$\mathscr{F}\big\{x(-t)\big\}=X(-f) \tag{2}$$ $$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\}=X^*(-f) \tag{3}$$

Nun, wenn für ein Signal

$$x(-t)=x^*(t) \tag{4}$$

Ist es dann sicher, Folgendes anzunehmen?

$$X(-f)=X^*(-f) \tag{5}$$

oder hängt es von der Art des Signals ab?

$X(f)$

Im Allgemeinen: Wenn es in einer Domäne real ist, ist es in der anderen Domäne konjugiert symmetrisch.

Ja, wenn Gl. (2) und (3) gelten für jede "Art von Signal" (was sie tun), dann muss (5) gelten.

$$\mathscr{F}\big\{x^*(t)\big\} = X(-f)$$ $$X(-f) = X^*(-f)$$

$f = - g$

$$X(g) = X^*(g)$$ $X(f)$$x(t)$

Die Antworten von @Deve und @Hilmar sind technisch perfekt. Ich möchte mit einigen Fragen einige zusätzliche Einblicke geben.

Kennen Sie zunächst ein Signal, das dies erfüllt? zeitumgekehrte / konjugierte Identität :

$$x(−t)=x^*(t)\,?$$

Eine erste naheliegende Idee ist die Auswahl zwischen realen und symmetrischen Signalen. Ein natürlicher im Fourier-Rahmen ist der Kosinus .

Lassen Sie uns nun etwas komplexer werden (Wortspiel beabsichtigt).

$i^*=-i$$t\to i.\sin t$

$$t\to e^{i t}$$

(auch als komplex exponentiell oder cisoid bezeichnet ) ist ebenfalls eine Lösung . Und seine Fourier-Transformation (als verallgemeinerte Funktion) ist tatsächlich real (wenn auch irgendwie "unendlich"). Weiter geht es mit jeder linearen Kombination von Cisoiden mit reellen Koeffizienten dies tun.

Ihre Frage zeigt, wie wichtig die Fourier-Dualität ist und wie ihre Verwendung einige Probleme vereinfachen kann. Wie in SYMMETRIE DER DTFT FÜR ECHTE SIGNALE zu sehen :

$x(n)$

$x$$t$$f$

Es wird auch als Heyser Korkenzieher / Spirale bezeichnet .