Ableiten diskreter 2-D-Fourier-Transformationen

Ich habe ein Problem mit DFT. Es war eine meiner Fragen zu Prüfungsarbeiten im letzten Jahr.

Frage:

Lassen $F(u,v)$ sei die 2-D-Fourier-Transformation einer 2-D-stetigen Funktion $f(x,y)$. Ableiten in Bezug auf$F(:,:)$ die 2-D-Fourier-Transformation jeder der folgenden Funktionen

1) $f(x,-2y)$

2) $f(x+2y,y)$

Ich weiß, wie man 1-D-Fourier-Transformationen macht, aber nicht 2-D. Ich bin mir nicht sicher, wie ich damit anfangen soll und brauche eine Anleitung.

Für den zweiten Teil war dies mein Ansatz. Bitte lassen Sie mich wissen, ob es richtig ist oder korrigieren Sie mich, wenn es falsch ist.

Sei $τ= x + 2y$ also $x = τ-2y$ und $dx = dτ$

Hier ist der erste:

Per Definition,

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,-2y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$

sei und umgekehrt$\tau = -2y$$y=\frac{-\tau}{2}$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = \iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd(-\frac{\tau}{2})$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2}\iint_{- \infty}^{\infty} f(x,\tau)e^{-j2\pi (ux-\frac{v\tau}{2})}dxd\tau$

$\mathfrak{F}\{ f(x,-2y)\} = -\frac{1}{2} F(u,-\frac{v}{2})$

Der andere wird schwieriger sein, aber ich werde es Ihnen überlassen.