Angenommen, ich habe Beobachtungen gepaart, die als für . Let und bezeichne der - ten größten beobachteten Wert von . Was ist die (bedingte) Verteilung von ? (oder gleichwertig das von )i = 1 , 2 , ... , n Z i = X i + Y i , Z i j j Z X i j Y i j
Das heißt, wie ist die Verteilung von abhängig ist, dass der te größte von beobachteten Werten von ?Z i j n Z.
Ich vermute, dass als die Verteilung von nur zur bedingungslosen Verteilung von konvergiert , während als die Verteilung von konvergiert auf die bedingungslose Verteilung der - ten Ordnungsstatistik von . In der Mitte bin ich mir allerdings nicht sicher.
distributions
order-statistics
shrinkage
shabbychef
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Antworten:
Beachten Sie, dass die Zufallsvariable nur eine Funktion von Z = ( Z 1 , … , Z n ) ist . Für einen n- Vektor z schreiben wir i j ( z ) für den Index der j- ten größten Koordinate. Es sei auch P z ( A ) = P ( X 1 ≤ A ≤ Z 1 = z ) die bedingte Verteilung von X 1ij Z=(Z1,…,Zn) n z ij(z) j Pz(A)=P(X1∈A∣Z1=z) X1 gegeben .Z1
Wenn wir Wahrscheinlichkeiten nach dem Wert von aufschlüsseln und wrt Z desintegrieren, erhalten wirij Z
Dieses Argument ist ziemlich allgemein und beruht nur auf den angegebenen iid-Annahmen, und könnte eine gegebene Funktion von ( X k , Y k ) sein .Z.k ( X.k, Y.k)
Unter den Voraussetzungen von Normalverteilungen (wobei ) und Z k der Summe, die bedingte Verteilung von X 1 gegeben Z 1 = Z ist N ( σ 2 xσy= 1 Z.k X.1 Z.1= z
und @probabilityislogic zeigen, wie die Verteilung vonZijberechnet wird, daher haben wir explizite Ausdrücke für beide Verteilungen, die im letzten Integral oben eingegeben werden. Ob das Integral analytisch berechnet werden kann, ist eine andere Frage. Sie könnten es können, aber auf den ersten Blick kann ich nicht sagen, ob es möglich ist. Für eine asymptotische Analyse mitσx→0oderσx→∞ istdies möglicherweise nicht erforderlich.
Die Intuition hinter der obigen Berechnung ist, dass dies ein bedingtes Unabhängigkeitsargument ist. Bei die Variablen X k und i j unabhängig.Z.k= z X.k ichj
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Die Verteilung von ist nicht schwierig und wird durch die Verteilung der Beta-F-Verbindungen angegeben:Z.ichj
Wobei ein normales Standard-PDF ist und Φ ( x ) ein normales Standard-CDF ist und σ 2 z = σ 2 y + σ 2 x .ϕ ( x ) Φ ( x ) σ2z= σ2y+ σ2x
Wenn Ihnen nun gegeben wird, dass , dann ist X i j eine 1: 1-Funktion von Z i j , nämlich X i j = Z i j - y . Ich würde also denken, dass dies eine einfache Anwendung der Jacobi-Regel sein sollte.Y.ichj= y X.ichj Z.ichj X.ichj= Z.ichj- y
Das scheint zu einfach, aber ich denke, es ist richtig. Glücklich, falsch gezeigt zu werden.
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