Verteilung von "ungemischten" Teilen basierend auf der Reihenfolge der Mischung

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Angenommen, ich habe Beobachtungen gepaart, die als für . Let und bezeichne der - ten größten beobachteten Wert von . Was ist die (bedingte) Verteilung von ? (oder gleichwertig das von )i = 1 , 2 , ... , n Z i = X i + Y i , Z i j j Z X i j Y i jXiN(0,σx2),YiN(0,σy2),i=1,2,,nZi=Xi+Yi,ZijjZXijYij

Das heißt, wie ist die Verteilung von abhängig ist, dass der te größte von beobachteten Werten von ?Z i j n Z.XiZijnZ

Ich vermute, dass als die Verteilung von nur zur bedingungslosen Verteilung von konvergiert , während als die Verteilung von konvergiert auf die bedingungslose Verteilung der - ten Ordnungsstatistik von . In der Mitte bin ich mir allerdings nicht sicher.ρ=σxσy0XijXρX.ichjjX.

shabbychef
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Ich habe das Tag "Mischung" entfernt, da es sich um eine Frage zu einer Summe (oder äquivalent zu korrelierten Normalvariablen) handelt, nicht um eine Mischung aus diesen.
whuber
X.ich wird auch unabhängig vonY.ich , ja?
Kardinal
@ Cardinal: Ja, sie sind unabhängig.
Shabbychef
Eine aktuelle und verwandte Frage, die auf math.SE aufgetaucht ist: math.stackexchange.com/questions/38873/…
Kardinal
Die auf math.SE veröffentlichte Lösung ist konzeptionell identisch mit der unten angegebenen Lösung - jedoch mit einer etwas anderen Terminologie formuliert.
NRH

Antworten:

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Beachten Sie, dass die Zufallsvariable nur eine Funktion von Z = ( Z 1 , , Z n ) ist . Für einen n- Vektor z schreiben wir i j ( z ) für den Index der j- ten größten Koordinate. Es sei auch P z ( A ) = P ( X 1A Z 1 = z ) die bedingte Verteilung von X 1ichjZ.=(Z.1,,Z.n)nzichj(z)jPz(A)=P(X1AZ1=z)X1gegeben .Z1

Wenn wir Wahrscheinlichkeiten nach dem Wert von aufschlüsseln und wrt Z desintegrieren, erhalten wirijZ.

P.(X.ichjEIN)=kP.(X.kEIN,ichj=k)=k(ichj(z)=k)P.(X.kEINZ.=z)P.(Z.dz)=k(ichj(z)=k)P.(X.kEINZ.k=zk)P.(Z.dz)=k(ichj(z)=k)P.zk(EIN)P.(Z.dz)=P.z(EIN)P.(Z.ichjdz)

Dieses Argument ist ziemlich allgemein und beruht nur auf den angegebenen iid-Annahmen, und könnte eine gegebene Funktion von ( X k , Y k ) sein .Z.k(X.k,Y.k)

Unter den Voraussetzungen von Normalverteilungen (wobei ) und Z k der Summe, die bedingte Verteilung von X 1 gegeben Z 1 = Z ist N ( σ 2 xσy=1Z.kX.1Z.1=z und @probabilityislogic zeigen, wie die Verteilung vonZijberechnet wird, daher haben wir explizite Ausdrücke für beide Verteilungen, die im letzten Integral oben eingegeben werden. Ob das Integral analytisch berechnet werden kann, ist eine andere Frage. Sie könnten es können, aber auf den ersten Blick kann ich nicht sagen, ob es möglich ist. Für eine asymptotische Analyse mitσx0oderσx∞ istdies möglicherweise nicht erforderlich.

N.(σx21+σx2z,σx2(1- -σx21+σx2))
Z.ichjσx0σx

Die Intuition hinter der obigen Berechnung ist, dass dies ein bedingtes Unabhängigkeitsargument ist. Bei die Variablen X k und i j unabhängig.Z.k=zX.kichj

NRH
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Die Verteilung von ist nicht schwierig und wird durch die Verteilung der Beta-F-Verbindungen angegeben:Z.ichj

pZ.ichj(z)dz=n!(j- -1)!(n- -j)!1σzϕ(zσz)[Φ(zσz)]]j- -1[1- -Φ(zσz)]]n- -jdz

Wobei ein normales Standard-PDF ist und Φ ( x ) ein normales Standard-CDF ist und σ 2 z = σ 2 y + σ 2 x .ϕ(x)Φ(x)σz2=σy2+σx2

Wenn Ihnen nun gegeben wird, dass , dann ist X i j eine 1: 1-Funktion von Z i j , nämlich X i j = Z i j - y . Ich würde also denken, dass dies eine einfache Anwendung der Jacobi-Regel sein sollte.Y.ichj=yX.ichjZ.ichjX.ichj=Z.ichj- -y

pX.ichj|Y.ichj(x|y)=n!(j- -1)!(n- -j)!1σzϕ(x+yσz)[Φ(x+yσz)]]j- -1[1- -Φ(x+yσz)]]n- -jdx

Das scheint zu einfach, aber ich denke, es ist richtig. Glücklich, falsch gezeigt zu werden.

Wahrscheinlichkeitslogik
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Sie haben die Frage falsch verstanden. Ich suche die Verteilung von als Funktion von j , n , σ x , σ y . Ich beobachte das X i und Y i nicht wirklich und kann sie nicht bedingen. Man kann wlog annehmen, dass σ x = 1 ist , und somit nur die Parameter j , n , σ y berücksichtigen . X.ichjj,n,σx,σyX.ichY.ichσx=1j,n,σy
Shabbychef
ok - also musst du grundsätzlich aus dieser Gleichung entfernen lassen? (integriert aus)y
Wahrscheinlichkeitslogik
Ja; und es ist nicht unabhängig von Z ...
Shabbychef