Berechnung von PDF bei gegebener CDF

Ich weiß, dass das PDF die erste Ableitung der CDF für eine kontinuierliche Zufallsvariable und die Differenz für eine diskrete Zufallsvariable ist. Ich würde jedoch gerne wissen, warum dies so ist, warum es zwei verschiedene Fälle für diskret und kontinuierlich gibt.

Ich werde ein bisschen ungenau sein, aber hoffentlich intuitiv.

Diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen müssen unterschiedlich behandelt werden. Für jeden Wert in einer diskreten Verteilung gibt es eine endliche Wahrscheinlichkeit. Bei einer fairen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit von Köpfen 0,5, bei einem fairen sechsseitigen Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit einer 1 ein Sechstel usw. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Werts in einer kontinuierlichen Verteilung ist jedoch Null, da ein bestimmter Wert gleich ist nur ein Wert aus einer unendlichen Anzahl von möglichen Werten, und wenn bestimmte Werte eine haben> 0 Wahrscheinlichkeit, dann würden sie nicht also auf 1 summieren, mit stetigen Verteilungen wir über die Wahrscheinlichkeit sprechen Bereiche von Werten.

"Summe bis" ist der Schlüssel zur Beantwortung Ihrer Frage. Wenn Sie mit der Analysis und ihrer Geschichte überhaupt vertraut sind, verstehen Sie, dass das Integralzeichen - das verlängerte 'S': - eine besondere Art der Summierung ist: eine, die den Grenzfall beschreibt, wenn wir uns der Summierung einer unendlichen Anzahl von verschwindend kleinen nähern Werte zwischen den Punkten und für eine Funktion. Wenn diese Funktion eine PDF-Datei ist, können wir sie integrieren (zusammenfassen), um eine CDF zu erstellen, und umgekehrt die CDF differenzieren (differenzieren), um die PDF-Datei zu erhalten.a $\int$$a$$b$

Im diskreten Fall können wir einfach eine standardmäßige arithmetische Summierung (daher große ' ' anstelle der großen 'S'-Notation) und eine arithmetische Differenzierung durchführen.$\Sigma$

Der Unterschied liegt in der Bequemlichkeit und dem Verständnis von Menschen, die nicht promovieren mussten. Level-Theorie-Kurse, in denen Sie "Integral in Bezug auf das Zählmaß" ableiten und beweisen . Was zeigt, dass es wirklich keinen Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen Verteilungen gibt, dass eine Summe wirklich ein Integral ist (und wie @Alexis bereits erwähnt hat, ist ein Integral im Wesentlichen eine Summe) und ein Unterschied wirklich eine Ableitung ist (es ist etwas einfacher zu sehen dass eine Ableitung eine entsprechend skalierte Differenz ist).

Lehrbücher und Kurse werden sie unterschiedlich behandeln, da es einfacher ist, früh zu unterrichten / zu verstehen, als die Mathematik zu benötigen, die zeigt, dass es keinen Unterschied gibt.

(Zumindest auf Einführungsebene) bezieht sich der Begriff Dichte nur auf kontinuierliche Zufallsvariablen.

Diskrete Zufallsvariablen haben eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion , die manchmal als Wahrscheinlichkeitsfunktion bezeichnet wird (pmf oder pf, nicht pdf). Dies gibt nicht die Dichte zurück, sondern die tatsächliche Wahrscheinlichkeit.

Einige Zufallsvariablen haben auch keine (aber sie haben immer noch ein cdf).

Überlegen Sie, wie die Definition eines cdf lautet ( ) und was dann passiert, wenn sich in beiden Fällen ein wenig bewegt.$F_X(x) = P(X\leq x)$$x$

Betrachten Sie nun, dass alle Sprünge im cdf bedeuten, dass ein bestimmter Wert eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null hat (dass und die Differenz ). Diese Nicht-Null-Wahrscheinlichkeit für bestimmte Werte ist das, was der pmf aufzeichnet .P ( X = x ) x p X ( x ) = P ( X = x $P(X\leq x)>P(X<x)$$P(X=x)$$x$$p_X(x)=P(X=x)$

(Bei fortgeschritteneren Behandlungen verschwindet die Unterscheidung.)

Eigentlich können Sie kontinuierliche und diskrete Verteilungen ähnlich behandeln, aber dazu haben Sie Diracs Delta-Funktionen, linke Grenzen und andere "erweiterte" Konzepte eingeführt.

Die einfache Möglichkeit, Ihre Frage zu beantworten, besteht darin, dass diskrete CDF- Sprünge diskontinuierlich sind. Man kann es deshalb nicht überall unterscheiden.

Auch hier ist alles möglich , wenn Sie die Delta-Funktion kennen !