Erwartung eines quadratischen Gammas

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Wenn eine Gammaverteilung mit und β parametrisiert ist , dann:αβ

E(Γ(α,β))=αβ

Ich möchte die Erwartung eines quadratischen Gammas berechnen, das heißt:

E(Γ(α,β)2)=?

Ich denke es ist:

E(Γ(α,β)2)=(αβ)2+αβ2

Weiß jemand, ob dieser letztere Ausdruck richtig ist?

Joshua
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Dies hing mit einer Simulationsstudie zusammen, an der ich arbeite, in der ich Standardabweichungen von einem Gamma zeichne, und wollte dann den Mittelwert der Varianzen (dh quadratische Gammas).
Joshua

Antworten:

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Die Erwartung des Quadrats einer Zufallsvariablen ist ihre Varianz plus ihre Erwartungsquadrat als

D2(X)=E([XE(X)]2)=E(X2)[E(X)]2E(X2)=D2(X)+[E(X)]2 .

Die Erwartung der wie oben parametrisierten Verteilung ist α / β (wie Sie erwähnt haben), die Varianz ist α / β 2 , daher ist die Erwartung ihres QuadratsΓα/β α/β2

.(α/β)2+α/β2

Das heißt: Sie haben Recht.

Tamas Ferenci
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Ich schätze die Antwort, obwohl ich nicht sicher bin, ob ich Ihrer Gleichung folge - wenn Sie ihr durch D2 (X) folgen, entspricht dies D2 (X) + E (X) ^ 2
Joshua
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[E(X)]2
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fX(x)=βαxα1eβxΓ(α),x>0.
α,β>0
x=0fX(x)dx=1,
z=0xz1ezdz=Γ(z).
k
E[Xk]=x=0xkfX(x)dx=1Γ(α)x=0βαxα+k1eβxdx=Γ(α+k)βkΓ(α)x=0βα+kxα+k1eβxΓ(α+k)dx=Γ(α+k)βkΓ(α),
1α+kβk=2E[X2]=Γ(α+2)β2Γ(α)=(α+1)αβ2.
MX(t)=E[etX]=x=0βαxα1eβx+txΓ(α)dx=βα(βt)αx=0(βt)αxα1e(βt)xΓ(α)dx=(ββt)α,t<β,
where the condition on t is required for the integral to converge. We may rewrite this as
MX(t)=(1t/β)α,
and it follows that
E[Xk]=[dkMX(t)dtk]t=0=[(1t/β)αk]t=0j=0k1α+jβ=Γ(α+k)βkΓ(α).
heropup
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Very clear, and helpful derivation.
Joshua