Warum heißt der erwartete Wert so?

Ich verstehe, wie wir 3,5 als den erwarteten Wert für das Werfen eines fairen 6-seitigen Würfels erhalten. Aber intuitiv kann ich jedes Gesicht mit der gleichen Chance von 1/6 erwarten.

Sollte der erwartete Wert eines Würfels nicht einer der Werte zwischen 1 und 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit sein?

Mit anderen Worten, wenn man die Frage stellt, was der erwartete Wert eines fairen 6-seitigen Würfels ist, sollte man antworten: "Oh, es kann alles zwischen 1 und 6 mit gleicher Chance sein." Stattdessen ist es 3.5.
Kann jemand in der realen Welt intuitiv erklären, wie hoch der Wert ist, den ich beim Werfen eines Würfels erwarten sollte?
Wieder möchte ich nicht die Formel oder die Ableitung für die Erwartung.

Stellen Sie sich vor, Sie sind 1654 in Paris und Sie und Ihr Freund beobachten ein Glücksspiel, bei dem nacheinander ein sechsseitiger Würfel gewürfelt wird. Jetzt ist das Glücksspiel höchst illegal, und es kommt häufig vor, dass der Gendarm Büsten macht. Wenn man an einem Tisch mit vielen Livre-Stapeln erwischt wird, ist dies mit ziemlicher Sicherheit ein Garant für einen längeren Aufenthalt im Chateau d'If.

Um das zu umgehen, haben Sie und Ihr Freund vor dem letzten Würfelwurf eine Gentleman-Einigung über eine Wette getroffen, die zwischen Ihnen beiden abgeschlossen wurde. Er verpflichtet sich, Ihnen fünf Livre zu zahlen, wenn Sie zwei Sechser in den nächsten fünf Würfelwürfeln beobachten, und Sie verpflichten sich, ihm den gleichen Betrag zu zahlen, wenn zwei gewürfelt werden, ohne weitere Maßnahmen, wenn diese Kombinationen nicht auftauchen.

Nun ist der letzte Würfelwurf eine Sechs, so dass Sie im übertragenen Sinne am Rand Ihres Sitzes sind. In diesem Moment stürmen schwer bewaffnete Gardisten in die Höhle und verhaften alle am Tisch, und die Menge zerstreut sich.

Ihr Freund glaubt, dass die Wette zwischen Ihnen beiden jetzt ungültig ist. Sie glauben jedoch, dass er Ihnen einen gewissen Betrag zahlen sollte, da bereits eine Sechs gewürfelt wurde. Was ist ein fairer Weg, um diesen Streit zwischen Ihnen beiden beizulegen?

(Dies ist meine Interpretation der Ursprünge des Erwartungswerts, wie hier dargestellt und hier ausführlicher erörtert. )

Beantworten wir diese Frage des beizulegenden Zeitwerts auf nicht strenge Weise. Der Betrag, den Ihr Freund zahlen sollte, kann auf folgende Weise berechnet werden. Betrachten Sie alle möglichen Würfe mit vier Würfeln. Einige Rollensätze (insbesondere solche mit mindestens sechs) führen dazu, dass Ihr Freund den vereinbarten Betrag auszahlt. Bei anderen Sets (dh solchen, die keine einzige Sechs enthalten) erhalten Sie jedoch kein Geld. Wie balancieren Sie die Möglichkeit, dass diese beiden Arten von Brötchen auftreten? Einfach, mittle den Betrag aus, den du für ALLE möglichen Rollen erhalten hättest.

Allerdings kann Ihr Freund (ziemlich unwahrscheinlich) immer noch seine Wette gewinnen! Sie müssen berücksichtigen, wie oft zwei in den verbleibenden vier Würfeln gewürfelt werden, und den Betrag, den Sie ihm zahlen, über die Anzahl aller möglichen Würfelwürfe von vier Würfeln mitteln. Dies ist der angemessene Betrag, den Sie Ihrem Freund für seinen Einsatz zahlen sollten. Somit ist der Betrag, den Sie am Ende erhalten, der Betrag, den Ihr Freund Ihnen zahlen sollte, abzüglich dessen, was Sie Ihrem Freund zahlen sollten.

Deshalb nennen wir es den "Erwartungswert". Dies ist der durchschnittliche Betrag, den Sie erwarten, wenn Sie ein Ereignis simulieren können, das in mehreren Universen gleichzeitig stattfindet.

Hervorragende Frage. Es ist subtiler, als es zunächst scheint. Es hat mit dem Zufallsereignis und der Zufallsvariablen (Zahl, Wert) zu tun . Ihre Verwirrung rührt von der Vermischung dieser beiden verwandten, aber unterschiedlichen Konzepte her.

Beginnen wir mit einem Ereignis. Aus der Art und Weise, wie Sie Ihre Frage formuliert haben, geht hervor, dass Sie das Ergebnis eines Würfelwurfs als Ereignis betrachten. Es ist zufällig, so dass Sie, wie Sie geschrieben haben, eine der sechs Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit erhalten können. Das ergibt einen vollkommenen Sinn.

Was ist der erwartete Wert dieses Experiments? Die Erwartungen sind für Zufallsvariablen (Werte) und nicht für Ereignisse definiert. Die Zahlen 1 bis 6 auf den Würfeln sind für Sie lediglich die Unterscheidungsmerkmale (im Kontext der Formulierung Ihrer Frage). Stellen Sie sich vor, Sie haben stattdessen Buchstaben verwendet: A, B, C, D, E und F. Ersetzen Sie die Zahlen durch Buchstaben und wiederholen Sie Ihre Frage wie folgt:

Mit anderen Worten, wenn man die Frage stellt, was der erwartete Wert eines fairen 6-seitigen Würfels ist, sollte man antworten: "Oh, es kann alles zwischen A und F mit gleicher Chance sein."

Versuchen Sie nun, einen erwarteten Wert zu ermitteln. Es ist nicht definiert!

Die Erwartungen werden sichtbar, wenn Sie Zufallswerte wie 1 bis 6 definieren. Sie ordnen die Werte dem Ereignisraum zu. Sie definieren beispielsweise, dass Seite A 1 ist, Seite B 2 usw. Jetzt haben Sie 6 Zahlen und können Berechnen Sie die Erwartung, die zufällig 3,5 ist.

"Jeder der Werte ist gleich wahrscheinlich" oder "ein Wert ist am wahrscheinlichsten" ist die Definition des Modus, nicht des erwarteten Werts.

Stellen Sie sich vor, wir spielen ein Münzwurfspiel. Jedes Mal, wenn ich Köpfe wirf, gebe ich dir 1 $ , jedes Mal, wenn ich Schwänze wirf, gibst du mir 1 $ . Wie viel Geld würden Sie erwarten , um zu gewinnen oder verlieren auf lange Sicht ? Beträge sind gleich, Wurfwahrscheinlichkeiten sind gleich, Erwartungswert ist Null.

Der erwartete Wert wird so genannt, denn wenn Sie alle Würfelwürfe mitteln, erwarten Sie, dass Sie diesen erwarteten Wert auf lange Sicht erhalten . Der erwartete Wert bezieht sich nicht auf einen einzelnen Würfelwurf.

Aus historischer Sicht schien das Konzept in verschiedenen Ländern vorzukommen, daher würde ich die Verwendung dieses Wortes als zweckmäßige Konvergenz zwischen ähnlichen Konzepten in verschiedenen Sprachen betrachten.

Mein Ausgangspunkt war die hervorragende früheste Verwendung von Symbolen in Wahrscheinlichkeit und Statistik :

Erwartung. Für die Erwartung in WA Whitworths bekanntem Lehrbuch Choice and Chance (fünfte Auflage) von 1901 wurde ein großes Drehbuch E verwendet, aber in der englischen Literatur haben sich bis viel später weder das Symbol noch der Erwartungskalkül durchgesetzt. Zum Beispiel verwendete Rietz Mathematical Statistics (1927) das Symbol E und bemerkte, dass "der Erwartungswert der Variablen ein Konzept ist, das von verschiedenen kontinentaleuropäischen Schriftstellern viel benutzt wurde ..." Für die kontinentaleuropäischen Schriftsteller bedeutete E "Erwartung". oder " espérance (Anmerkung der Redaktion: mathématique) ".

Der Begriff wird manchmal Huyghens "zugeschrieben", worauf in Huygens Foundations Of Probability :

Es ist allgemein anerkannt, dass Huygens Wahrscheinlichkeit auf Erwartung basiert. Der Begriff "Erwartung" stammt jedoch aus Van-Schootens lateinischer Übersetzung von Huygens 'Abhandlung. Eine wörtliche Übersetzung von Huygens 'niederländischem Text zeigt deutlicher, was Huygens eigentlich meinte und wie er vorging.

Weitere Einzelheiten zu Fermat, Pascal finden sich in Expectation und den frühen Probabilisten .

Interessanterweise ist das allgemeinere Konzept als Erwartungswert ist Standort . Das Konzept des erwarteten Werts hat daher subtile Implikationen, die etwas verwirrend sind.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ verliert 1 US-Dollar, funktioniert genauso gut wie ein Durchschnitt, mit dem Vorteil, tatsächlich Ergebnisse in diesem Universum zu haben.

Der Grund für die übermäßig eingeschränkte Assoziation zwischen dem Begriff "Erwartungswert" und "Mittelwert" scheint eher historisch als semantisch korrekt oder sogar besonders schlüssig zu sein. Das heißt, der Kontext, in dem ein berechneter Erwartungswert konsistent ist, die Erwartung eines Standortcharakterisierungsverhaltens in einem Datensatz ist nur auf bestimmte Datenverteilungen beschränkt und nicht auf andere.

$f$ zentrale Grenzwertsatz bezieht

Aber was ist mit nicht normalen Datenverteilungen, für die andere Kennzahlen stabiler und / oder repräsentativer für diese Daten sind? Beispielsweise ist der Mittelwert oder der durchschnittliche Extremwert von Daten aus einer gleichmäßigen Verteilung genauer und stabiler, dh genau und konvergiert schneller als der Mittelwert oder Median dieser Verteilung. Für logarithmische Normalverteilungen, z. B. (einen Großteil der Behandlung von) Einkommensdaten, das Anti-Logarithmus des Mittelwerts des Logarithmus der Daten ( geometrisches Mittel der AKA)$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$